ঢাকা বোর্ড ২০১৯ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ভেক্টর অপারেটর ∇ এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর গুণফলকে ঐ বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির কার্ল বলে। অর্থাৎ, V ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল =∇×V; এটি ক্ষেত্রটির ঘূর্ণন প্রবণতা নির্দেশ করে।

বাঁকা পথে কোনো গাড়ি চলার সময় বৃত্তাকার পথে ঘোরার জন্য বাঁকের কেন্দ্রের দিকে একটি কেন্দ্রমুখী বল mv²r প্রয়োজন হয়। রাস্তা সমতল হলে এই বল কেবল চাকা ও রাস্তার মধ্যকার ঘর্ষণ বল থেকে আসে, যা অনেক সময় যথেষ্ট হয় না; ফলে গাড়ি পিছলে বাইরের দিকে ছিটকে যেতে পারে।

বাইরের প্রান্ত উঁচু রেখে রাস্তাকে অনুভূমিকের সাথে θ কোণে হেলানো (ব্যাংকিং) হলে রাস্তার প্রতিক্রিয়া বল R উল্লম্বের সাথে হেলে থাকে। এর উল্লম্ব উপাংশ Rcos θ গাড়ির ওজন mg কে ধারণ করে এবং অনুভূমিক উপাংশ Rsin θ বাঁকের কেন্দ্রের দিকে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগায়।

tan θ=v²rg

এজন্য নিরাপদে বাঁক নেওয়ার জন্য রাস্তার বাঁকযুক্ত অংশে ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাইরের প্রান্ত উঁচু রাখা হয়।

চিত্র অনুসারে 5 N বল পূর্ব (+x) দিকে, 6 N বল উত্তর (+y) দিকে এবং 2 N বল 6 N বলের সাথে 120^∘ কোণে, অর্থাৎ +x অক্ষের সাথে 210^∘ কোণে ক্রিয়া করে। বলগুলোকে উপাংশে বিভাজন করে লব্ধি নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

R_x=F₁+F₃cos 210^∘, R_y=F₂+F₃sin 210^∘

বা, R_x=5+2×(−0.866)=5−1.732=3.268 N

বা, R_y=6+2×(−0.5)=6−1=5 N

এখন, R=R2x+R2y=(3.268)²+5²

বা, R=10.68+25=35.68

∴ R=5.97 N

অতএব, প্রথম 4 s সময়ে বস্তুটির উপর ক্রিয়াশীল লব্ধি বলের মান 5.97 N।

লব্ধি বলের দিক +x অক্ষের (অর্থাৎ 5 N বলের) সাথে উৎপন্ন কোণ দ্বারা তুলনা করি।

১ম ক্ষেত্র (তিনটি বল): 'গ' থেকে পাই, R_x=3.268 N, R_y=5 N।

আমরা জানি,

tan α₁=R_yR_x

বা, tan α₁=53.268=1.53

∴ α₁=56.83^∘

২য় ক্ষেত্র (কেবল 5 N ও 6 N বল, পরস্পর লম্ব):

আমরা জানি,

R′=F21+F22=5²+6²=61=7.81 N

এবং tan α₂=F₂F₁=65=1.2

∴ α₂=50.19^∘

দেখা যায়, α₁=56.83^∘ এবং α₂=50.19^∘, অর্থাৎ α₁≠α₂। 2 N বলটির x ও y উভয় উপাংশ ঋণাত্মক হওয়ায় প্রথম ক্ষেত্রে লব্ধি বলের দিক দ্বিতীয় ক্ষেত্রের তুলনায় 56.83^∘−50.19^∘=6.64^∘ বেশি +y অক্ষের দিকে হেলে থাকে।

অতএব, উভয় ক্ষেত্রে লব্ধি বলের দিক একই হবে না।