কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে ভেক্টরের মান এক একক তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায়; যেমন, a=A|A|।

একই তলে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টর P ও Q এর লব্ধির মান R=P²+Q²+2PQcos α, যা শুধু ভেক্টর দুটির মান এবং মধ্যবর্তী কোণ α এর উপর নির্ভর করে।

ভেক্টর দুটিকে একসাথে একই কোণে ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে ঘোরালে তাদের মান ও মধ্যবর্তী কোণ α অপরিবর্তিত থাকে। তাই লব্ধির মান একই থাকে এবং ভেক্টর দুটির সাপেক্ষে লব্ধির দিকও (যেমন P এর সাথে কোণ) একই থাকে।

কিন্তু পুরো ব্যবস্থাটি ঘোরার ফলে লব্ধিও ঐ একই কোণে ঘুরে যায়। ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরালে লব্ধি ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং বিপরীত দিকে ঘোরালে লব্ধি বিপরীত দিকে সরে যায়।

সুতরাং দুই ক্ষেত্রে লব্ধির মান সমান হলেও স্থির প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে লব্ধির দিক একই হবে না।

F₁×F₂=ijk−231522

=i(3×2−1×2)−j((−2)×2−1×5)+k((−2)×2−3×5)

=i(6−2)−j(−4−5)+k(−4−15)

∴ F₁×F₂=4i+9j−19k

মান, |F₁×F₂|=4²+9²+(−19)²=16+81+361=458

∴ |F₁×F₂|=21.40

অতএব, F₁×F₂=4i+9j−19k, যার মান 21.40 একক।

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের স্কেলার গুণফল শূন্য হবে।

F₁+F₂=(−2+5)i+(3+2)j+(1+2)k=3i+5j+3k

F₁−F₂=(−2−5)i+(3−2)j+(1−2)k=−7i+j−k

(F₁+F₂)⋅(F₁−F₂)=(3)(−7)+(5)(1)+(3)(−1)

=−21+5−3

∴ (F₁+F₂)⋅(F₁−F₂)=−19≠0

বিকল্পভাবে, (F₁+F₂)⋅(F₁−F₂)=F21−F22। এখানে,

F21=(−2)²+3²+1²=14, F22=5²+2²+2²=33

∴ F21−F22=14−33=−19≠0

অর্থাৎ F₁ ও F₂ এর মান সমান নয়, তাই F₁+F₂ ও F₁−F₂ এর ডট গুণফল শূন্য হয় না।

অতএব, F₁+F₂ ও F₁−F₂ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব নয়।