ভেক্টর — বোর্ডের সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

নৌকা বাইচ প্রতিযোগিতায় O বিন্দু হতে করিম OA বরাবর রওনা দিয়ে B বিন্দুতে 5.3 km h⁻¹ বেগে পৌঁছাল। কিন্তু রহিম OB বরাবর রওনা দিয়ে নির্দিষ্ট সময়ে নদী পার হয়ে R বিন্দুতে পৌঁছাল। প্রতিযোগিতার সময় হঠাৎ করে 10 km h⁻¹ বেগে বৃষ্টি শুরু হলো। উভয়ক্ষেত্রে নৌকার বেগ 5 km h⁻¹ ছিল। (চিত্র হতে পাই: নদীর প্রস্থ 2 km এবং স্রোতের বেগ 2 km h⁻¹)

একটি স্কেলার ক্ষেত্র ϕ=ϕ(x, y, z), একটি ভেক্টর ক্ষেত্র V=(V_xi+V_yj+V_zk) এবং একটি ভেক্টর অপারেটর ∇=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk

তিনটি বিন্দু P(4, −2, 3), Q(−2, 4, 5) এবং R(−1, 2, −2) ত্রিমাত্রিক আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অবস্থান করছে।

ইঞ্জিনচালিত একটি নৌকার স্রোতের অনুকূলে বেগ 15 km h⁻¹ এবং স্রোতের প্রতিকূলে বেগ 5 km h⁻¹। 5 km প্রস্থবিশিষ্ট একটি নদীতে একজন মাঝি A বিন্দু হতে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছানোর জন্য যাত্রা শুরু করে। B বিন্দু থেকে 5 km দূরের C বিন্দু থেকে একই সময় অপর এক ব্যক্তি 4 km h⁻¹ বেগে B বিন্দুর দিকে অগ্রসর হতে থাকে।

চিত্রে দুটি বিন্দু M ও N এর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে। OM ও ON বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

উপরের চিত্রটি লক্ষ করো।

তিনটি ভেক্টর যথাক্রমে A=9i+j−6k; B=4i−6j+5k এবং V=3xyz²i+2xy²j−x³y²zk।

P=2i+2j−k, Q=2i+2j+ak

একটি ভেক্টর রাশি A=4x³y²i−4x²y³zj−6xyz³k এবং একটি স্কেলার রাশি φ=3xy²z+3xyz²+3y²z³।

A=2i−2j+2k এবং B=i−3j+6k

দুটি ভেক্টর যথাক্রমে A=3i+4j−k ও B=i−j+6k এবং একটি ভেক্টরক্ষেত্র C=2x²yzi+y²zj+x²y²z²k.

A=2i+3j+5k, B=−i+2j+7k এবং C=i+7j−k তিনটি ভেক্টর

উপরের চিত্রে তমাল 'P' বিন্দু থেকে নৌকা চালিয়ে নদীর অপর পাড়ে যাচ্ছে। সে PS বরাবর 5 km h⁻¹ বেগে নৌকা চালিয়ে নদীর অপর পাড়ের M বিন্দুতে পৌঁছায়। [নদীর প্রস্থ PQ=2 km]

A=2i−3j+k, B=3i−j+5k এবং C=3i+2j−4k ভেক্টর তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করে।

চিত্র অনুযায়ী O বিন্দুস্থ স্থির বস্তুকণার উপর তিনটি বল প্রয়োগ করা হল।

দুটি ভেক্টর v=2i+3j−xk এবং u=3i+2j+2k পরস্পর লম্ব। v এবং u এর মান যদি নৌকা ও একটি নদীতে স্রোতের বেগ নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 4 মিনিট সময় লাগে।

চিত্রে 4 km h⁻¹ বেগে প্রবাহিত স্রোতের নদীতে সোহেল 8 km h⁻¹ বেগে AB বরাবর নৌকা চালানো শুরু করে। 10 মিনিটে নদীর প্রস্থ AD বরাবর D বিন্দুতে পৌঁছে। কিন্তু রোহান AD বরাবর 10 km h⁻¹ বেগে নৌকা চালানো শুরু করে AC বরাবর C বিন্দুতে পৌছে।

স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ =20 km h⁻¹

স্রোতের প্রতিকূলে, নৌকার বেগ =10 km h⁻¹

r=axi+yj+2k

P=2i+3j+4k

Q=4i+4j−k

C ভেক্টরটি A ও B ভেক্টরের উপর লম্ব।

A=−i−3j+2k এবং B=2i−2j−2k

1 km প্রস্থ একটি নদীর তীর বরাবর 4 m s⁻¹ বেগে একটি বাস গতিশীল। নদীর অপর তীর হতে এক ব্যক্তি সোজাসুজি বাসটিকে দেখতে পেয়ে বাসটি ধরার জন্য স্রোতের সাথে 70^∘ কোণে 6 m s⁻¹ বেগে নৌকাযোগে রওনা দিলো। নদীতে স্রোতের বেগ 2 m s⁻¹।

AB বরাবর সুজনের নৌকার =6 m s⁻¹

AC বরাবর কুবেরের নৌকার =5.5 m s⁻¹

CB বরাবর স্রোতের =1.2 m s⁻¹

নদীর প্রস্থ, AB=400 m

তিনটি বিন্দু P, Q ও R এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P(2, −1, 3), Q(3, −1, 2) এবং R(1, −3, 5)

ভেক্টর P=(9xy²+5z)i+(4y²+2xz)j+(3x³+2y)k

নিচের উদ্দীপকটি পড় ও সংশ্লিষ্ট প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

একজন সাঁতারু AB এর সাথে 10^∘ কোণে 16 km h⁻¹ বেগে সাঁতার কাটা শুরু করলো। নদীতে স্রোতের বেগ 8 km h⁻¹। অপর সাঁতারু একই নদীতে একই বেগে স্রোতের সাথে 60^∘ কোণে সাঁতার কাটা শুরু করলো।

1 km প্রস্থের একটি নদী পার হওয়ার জন্য দুইজন সাঁতারু, সাঁতার প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করে। প্রথম সাঁতারু 6 km h⁻¹ বেগে স্রোতের প্রতিকূলের সাথে 60^∘ কোণে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু 6 km h⁻¹ বেগে আড়াআড়িভাবে সাঁতার কাটা শুরু করে। নদীতে স্রোতের বেগ 3 km h⁻¹

নাহিন এবং জাহিন একটি ভারী স্থির ট্রাক-এ দুটি রশি বেঁধে টেনে নিয়ে যাচ্ছিল। রশি দুটির মধ্যে α কোণ সৃষ্টি হয়। ট্রাকটি নাহিনের দিকে সরে যাচ্ছিল। নাহিন জাহিনকে আরো বেশি বল প্রয়োগ করতে বললো।

চিত্রে একজন মাঝি A বিন্দু থেকে AB এর সাথে 30^∘ কোণে 16 km h⁻¹ বেগে এবং আরেকজন মাঝি একই বিন্দু হতে একই বেগে AB এর সাথে 60^∘ কোণে নদীতে নৌকা চালাচ্ছেন।

চিত্রে BC নদীর কিনারা ঘেঁষে চলা একটি রাস্তা হল AB। নদীতে স্রোতের বেগ 2 m s⁻¹ এবং একজন মাঝি 4 m s⁻¹ বেগে নৌকা চালাচ্ছেন। রাস্তায় গাড়ির বেগ 15 m s⁻¹। গাড়ি B স্টেশনে 40 s যাত্রা বিরতি দেয়।

একটি গাড়ির পেছনের গ্লাস ছাদের সাথে 30^∘ কোণে হেলানো। গাড়িটি v=18i বেগে একটি রাস্তায় চলছিল। হঠাৎ বৃষ্টি u=−12j বেগে পড়া শুরু হলো।

P=5i+3j−mk ও Q=i+j+4k এখানে P এবং Q পরস্পর লম্ব। যদি P এবং Q এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

P=5i+3j−mk; Q=i+j+4k এখানে P এবং Q পরস্পর লম্ব। যদি P এবং Q এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

A=3i+2j+k, B=i+2j+3k এবং c=i+2j+2k ভেক্টরত্রয় মিলে একটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র গঠন করে।

A=i+j−k, B=2i−2j−3k দুটি ভেক্টর।

শান্ত বাতাসে 6 km h⁻¹ বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে আবিদ 8 km h⁻¹ বেগে বাড়ি ফিরছে। হঠাৎ আবিদের চলার বিপরীত দিকে 2 km h⁻¹ বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগলো। উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে আবিদ ছাতা ব্যবহার করলো।

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দু O(0, 0, 0), P(2, 4, 2) এবং Q(2, −4, −4)।

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P(1, 2, 1) ও Q(2, 1, 1)। বিন্দু দুটির জন্য সৃষ্ট অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে OP ও OQ। অবস্থান ভেক্টরদ্বয়কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিক অংকন করলে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক R(1, 1, 2) হয়।

অরুণ মাঝি 8 km h⁻¹ বেগে নৌকা চালিয়ে নদীর প্রস্থ বরাবর পার হয়। বরুণ মাঝি একই বেগে নদীর প্রস্থ বরাবর নৌকা চালায়। নদীর প্রস্থ 2 km।

তিনটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে A=2i+2j−k, B=6i−3j+2k এবং c=(6xy+z³)i−(3x²−z)j+(3xz²−y)k.

চিত্রের P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে P ও Q.

চিত্রে স্রোতের নদীতে একজন লোক এক পাড় হতে অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য 4 km h⁻¹ বেগে AC বরাবর নৌকা চালানো শুরু করে সে অপর পাড়ে D বিন্দুতে পৌঁছে। BD=0.5 km, নদীর প্রস্থ =AB.

2.2 km প্রস্থের একটি নদীতে স্রোতের বেগ 3 km h⁻¹। সাঁতার প্রতিযোগিতায় নদী পাড়ি দেওয়ার লক্ষ্যে প্রথম সাঁতারু 5 km h⁻¹ বেগে চিত্র-১ অনুসারে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু একই, বেগে চিত্র-২ অনুসারে সাঁতার আরম্ভ করলো।

একদিন একটি অঞ্চলের তাপমাত্রা ও বাতাসের বেগ পাওয়া গেল যথাক্রমে, Q=2xy²z³−4xy ও V=(y²cos x+z³)i+(2ysin x−4)j+(3xz²+2)k।

500 m প্রস্থের একটি নদীতে 6 km h⁻¹ বেগে স্রোত প্রবাহিত হচ্ছে। এই নদীটি মাহীর ও নিধি প্রতিযোগিতার উদ্দেশ্যে সাঁতার কেটে পার হওয়ার সিদ্ধান্ত নিলো। মাহীর 10 km h⁻¹ বেগে স্রোতের সাথে α কোণে এবং নিধি 9 km h⁻¹ বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে সাঁতার কাটতে শুরু করলো।

কোনো একদিন 10 m s⁻¹ বেগে খাড়াভাবে বৃষ্টি পড়ছিল। এ সময় একজন ব্যক্তি 20 m s⁻¹ বেগে গাড়ি চালিয়ে যাচ্ছিলেন।

p(x, y, z)=2xy⁴−x²z একটি স্কেলার রাশি এবং A=(2x+y)i+(3y+z²)j+(−5z+x)k একটি ভেক্টর রাশি এবং B=(6xy+z³)i+(3x²−z)j+(3xz²−y)k অপর একটি ভেক্টর রাশি।

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

চিত্রে তিনটি সমতলীয় ভেক্টর O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল রয়েছে।

দেওয়া আছে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র—

A=(6xy+z³) i+(3x²−z) j+(3xz²−y) k

কোনো একদিন সেলিম ও মুরাদ কোনো স্থানে দণ্ডায়মান ছিল। তখন বাতাসের বেগ 5 m s⁻¹ যা দক্ষিণ থেকে উত্তরে প্রবাহিত হচ্ছিল। এমন সময় 3 m s⁻¹ বেগে বৃষ্টি পড়তে শুরু করলো। বৃষ্টি শুরু হবার পর সেলিম দক্ষিণ থেকে উত্তরে এবং মুরাদ উত্তর থেকে দক্ষিণে 7 m s⁻¹ বেগে চলতে শুরু করলো।

10 km প্রস্থবিশিষ্ট একটি নদীতে স্রোতের বেগ 5 km h⁻¹। প্রথম মাঝি 10 km h⁻¹ বেগে স্রোতের সাথে α কোণে এবং ২য় মাঝি 10 km h⁻¹ বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে নদী পার হতে যাত্রা করল।

A=2i+4j+2k, B=3i+3j+4k এবং C=i+2j+k

A=4i+2j−k

B=i−2j−k

C=4i−2j+k

উভয় চিত্রে v= নৌকার বেগ =6 m s⁻¹

R= লব্ধি বেগ।

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

চিত্রে |A|=5 N ও |B|=8 N

চিত্রে F₁ ও F₂ বলদ্বয় O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

A=2i+2j−3k, B=3i+3j−2k একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে। P ও Q ভেক্টর অপর একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে, যেখানে P=3A এবং Q=12B।

শান্ত একটি কলেজ ছাত্র। তার বাড়ির পাশ দিয়ে 1 km প্রশস্ত একটি নদী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার 5 মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে 120^∘ কোণে 12 km h⁻¹ বেগে একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা হলো।

4 km প্রস্থ একটি নদীর পাড়ের 'A' বিন্দু হতে 12 km/hr বেগে একটি নৌকা নদীর অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করলো। একজন লোক নৌকা চলার শুরু হতে অপর পাড়ের 'B' বিন্দুতে 20 মিনিট অপেক্ষা করে চলে গেল। নদীতে স্রোতের বেগ 6 km h⁻¹

রবিনদের বাড়ির সামনে 1000 m প্রশস্ত একটি নদী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি নদীর ঠিক অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার ঠিক 10 মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে 120^∘ কোণে 10 km h⁻¹ বেগের একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা দিলো এবং সোজা অপর পাড়ে গিয়ে কলেজে পৌঁছালো। [নদীর পাড় হতে কলেজের দূরত্ব নগন্য বিবেচনা করতে হবে]

চিত্রে দুটি বিন্দু P ও Q এর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে। OP ও OQ যথাক্রমে বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

নিচে তিনটি ভেক্টর দেওয়া আছে।

A=2i+3j+4k

B=5i−j+6k

C=4i+2j−3k

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য করো যেখানে ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় A(3, 3, 1) এবং B(4, 5, 1) দুটি বিন্দু।

30^∘ কোণে আনত একটি পাহাড়ের ঢাল বেয়ে 72 km/h সমবেগে একটি বাস উপরে উঠছে। এমন সময় হঠাৎ বৃষ্টি 6 m/s সমবেগে খাড়া নিচে পড়তে শুরু করল। বৃষ্টি যখন প্রায় শেষ তখন অনুভূমিকভাবে বায়ুপ্রবাহ শুরু হলো।

OB বরাবর করিমের বেগ =8 m s⁻¹

OA বরাবর রহিমের বেগ =7.5 m s⁻¹

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P(1, 2, −1), Q(−2, 1, 1) এবং R(3, 1, −2), যেখানে P, Q এবং R প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

তিনটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে A=4i+3j+5k, B=2i+j+2k এবং C=x²yi+y²zj+z²xk

চিত্রটি লক্ষ কর :

অনিক A=2i+j−k, এবং B=i−2j−3k দুটি ভেক্টর নিয়ে তাদের ডট ও ক্রস গুণন নির্ণয় করছিল। সে দেখল যে, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যস্থ কোণের মান একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ পরিবর্তন করলে তাদের ডট ও ক্রস গুণনের মান সমান হয়।

চিত্র-১ অনুসারে O বিন্দুতে 2 kg ভরের কোনো স্থির বস্তুর উপর 4 s ধরে তিনটি বল ক্রিয়া করে। পরবর্তীতে একই বস্তুর উপর কেবলমাত্র 5 N ও 6 N বল 4 s ধরে ক্রিয়া করে।

চিত্রটি লক্ষ কর :

M=(10 kg) ভরের একটি বস্তুর উপর একই সময়ে তিনটি বল ক্রিয়া করছে যা ১নং চিত্রে দেখানো হলো।

তিনটি বিন্দু A, B ও C এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 1, −1), (3, −2, 4) ও (1, −3, 5)। কোনো সুষম বেগে গতিশীল বস্তুর B বিন্দু হতে C বিন্দুতে পৌঁছাতে 2 s সময় লাগলো। [সবকটি রাশি এসআই এককে প্রদত্ত]

পাশের চিত্র অনুসারে OABC একটি আয়তক্ষেত্র। এর OA এবং OB বাহু দ্বারা দুটি ভেক্টর যথাক্রমে P=i−2j−k এবং Q=2i−3j+2k নির্দেশিত হয়েছে।

কোনো এক বৃষ্টির দিনে নাফিসা জানালার পাশে দাঁড়িয়ে দেখছিল বৃষ্টি উল্লম্বভাবে 6 km h⁻¹ বেগে পতিত হচ্ছে। নাফিসা লক্ষ করল, রাস্তায় একজন লোক 4 km h⁻¹ বেগে হাঁটছে এবং অপরজন 8 km h⁻¹ বেগে সাইকেলে যাচ্ছে। তাদের উভয়ের ছাতা ভিন্ন ভিন্ন কোণে বাঁকাভাবে ধরা।

একটি নৌকা চিত্রানুযায়ী 2.5 km প্রস্থের একটি নদীতে A অবস্থান হতে অন্য প্রান্ত AD বরাবর যাচ্ছে।

স্থির পানিতে নৌকার বেগ =(3i−3j) m s⁻¹ এবং স্রোতের বেগ =2i m s⁻¹ অন্য একটি ক্ষেত্রে নৌকাটিকে AB বরাবর একই দ্রুতিতে চালানো হয়।

দুটি বিন্দুর ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানাঙ্কদ্বয় যথাক্রমে A(1, 0, −1), B(1, 1, 0)।

চিত্রানুযায়ী একটি নদী 31 km প্রশস্ত। দুটি ইঞ্জিন বোট আড়াআড়ি পার হওয়ার জন্য A হতে অভিন্ন বেগে যাত্রা শুরু করল যাদের একটি AB বরাবর অপরটি AC বরাবর। প্রথমটি আড়াআড়ি পার হয়ে C বিন্দুতে পৌঁছালেও দ্বিতীয়টি D বিন্দুতে পৌছায়। স্রোতের বেগ 9 km h⁻¹

চিত্রানুযায়ী একটি পাখি সমতল ভূমির সমান্তরালে আকাশে উড়ছে। পাখিটির উভয় পাখা কর্তৃক ধাক্কার পরিমাণ 5 N।

নিম্নের চিত্রে দুটি বিন্দু A ও B এর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে :

কোনো এক বৃষ্টির দিনে আসাদ ঘরের দরজায় দাঁড়িয়ে বৃষ্টি দেখছিল। বৃষ্টি উল্লম্বভাবে 6 km h⁻¹ বেগে পড়ছিল। এমন সময় আসাদ দেখল এক ব্যক্তি উল্লম্বের সাথে 33.8^∘ কোণে ছাতা ধরে পায়ে হেঁটে চলছে। অপর এক ব্যক্তি উল্লম্বের সাথে 53.06^∘ কোণে ছাতা ধরে সাইকেলে চলছে। উভয়ই বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেল।

A=2i+2j−k, B=6i−3j+2k

উপরের চিত্রে A=i−j+k এবং B=2i−3j+6k.

চিত্রে |A|=5 এবং |B|=6

চিত্রে প্রবহমান নদীটির প্রশস্ততা 1.5 km এবং স্রোতের বেগ 4 km h⁻¹। রহমত মাঝি AB বরাবর নৌকা চালনা করে AC বরাবর ওপারে পৌঁছালেন। নৌকার বেগ 3 km h⁻¹

নিচের চিত্রে করিম ও রহিম দু'জন মাঝি স্থির পানিতে 500 kg ভরের একটি স্থির নৌকাকে দু'তীর থেকে দড়ি দিয়ে 30^∘ কোণে F বলে টানছে। নৌকাটি 5 মিনিটে তীরের সমান্তরালে 3.6 km পথ অতিক্রম করে। করিম রহিমকে বলে "সমান টানে এ দূরত্ব 5 মিনিটের কম সময়ে পৌঁছা সম্ভব।" [নৌকার তল ও পানির ঘর্ষণ বল উপেক্ষণীয়]

36 m চওড়া একটি নদীতে 10 m s⁻¹ বেগে একটি নৌকা চলছে (চিত্র)। নৌকাটি নদী পার হয়ে বিপরীত তীরের C বিন্দুতে পৌঁছাল। নদীতে স্রোতের বেগ 3 m s⁻¹।

উদ্দীপকে X ও Y বিন্দু দুটি কলেজের অবস্থান নির্দেশ করে। O, উভয় কলেজের যাত্রা অবস্থানের সাধারণ বিন্দু।