যশোর বোর্ড ২০১৭ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে ভেক্টরের আদিবিন্দু নির্দিষ্ট নয়, অর্থাৎ মান ও দিক অপরিবর্তিত রেখে যে ভেক্টরকে যেকোনো বিন্দু থেকে শুরু করে স্থাপন করা যায়, তাকে স্বাধীন ভেক্টর (মুক্ত ভেক্টর) বলে। যেমন, কোনো বস্তুর সরণ বা বেগ।

প্রত্যায়নী বল সর্বদা বস্তুকে তার সাম্যাবস্থানের দিকে ফিরিয়ে আনতে চায়, অর্থাৎ এর দিক সরণের বিপরীত দিকে থাকে। যেমন স্প্রিংয়ের ক্ষেত্রে, F=−kx।

বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে কৃতকাজ, W=F⋅s=Fscos θ।

যখন বস্তুকে সাম্যাবস্থান থেকে দূরে সরানো হয় (স্প্রিংকে টেনে লম্বা বা চেপে ছোট করা হয়), তখন প্রত্যায়নী বল ও সরণ পরস্পর বিপরীতমুখী হয়, অর্থাৎ θ=180^∘ এবং cos 180^∘=−1।

ফলে প্রত্যায়নী বল দ্বারা কৃতকাজ W=−Fs, অর্থাৎ ঋণাত্মক হয়। স্প্রিংকে x পরিমাণ প্রসারিত করলে প্রত্যায়নী বল দ্বারা কৃতকাজ W=−12kx²।

অতএব, বস্তু সাম্যাবস্থান থেকে দূরে সরতে থাকলে প্রত্যায়নী বল দ্বারা কৃতকাজ ঋণাত্মক হয়।

নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগ উভয়ই নদীর সমতলে অবস্থিত। তাই এদের ভেক্টর গুণফল নদীর সমতলের উপর লম্ব হবে।

v_b×v_w=ijk3−30200

=i(−3×0−0×0)−j(3×0−0×2)+k(3×0−(−3)×2)

=0 i−0 j+6k=6k

|v_b×v_w|=6²=6

∴ একক ভেক্টর,

η=v_b×v_w|v_b×v_w|=6k6=k

অতএব, নদীর সমতলের লম্ব বরাবর একক ভেক্টর k (বিপরীত দিকে −k)।

উদ্দীপকে নৌকার বেগের j উপাংশ ঋণাত্মক দেওয়া আছে; নদী পারাপারের সময় শুধু প্রস্থ বরাবর উপাংশের মানের উপর নির্ভর করে বলে এর মান 3 m s⁻¹ ধরা হয়েছে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে নৌকার মুখ AB বরাবর রেখে চালানো হয়েছে ধরা হয়েছে।

প্রথম ক্ষেত্রে নৌকা AD বরাবর চালানো হয়। নদী পার হওয়ার সময় নির্ভর করে নৌকার বেগের প্রস্থ বরাবর (AB বরাবর) উপাংশের উপর, যা 3 m s⁻¹। স্রোতের বেগ 2i প্রস্থের লম্ব দিকে বলে তা পারাপারের সময়কে প্রভাবিত করে না।

আমরা জানি,

t₁=dv_y

বা, t₁=2500 m3 m s⁻¹

∴ t₁=833.33 s

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে নৌকাকে একই দ্রুতিতে AB বরাবর, অর্থাৎ স্রোতের লম্বদিকে চালানো হয়। তখন নৌকার সম্পূর্ণ দ্রুতিই প্রস্থ বরাবর কাজ করে।

আমরা জানি,

v=|v_b|=3²+(−3)²=18=4.24 m s⁻¹

এবং t₂=dv

বা, t₂=250018

∴ t₂=589.26 s

দেখা যায়, t₂<t₁ এবং সময়ের পার্থক্য =833.33−589.26=244.07 s।

অতএব, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, অর্থাৎ AB বরাবর চালালে নৌকাটি প্রায় 244 সেকেন্ড আগে অপর তীরে পৌঁছাবে।