বরিশাল বোর্ড ২০১৭ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট, তাকে নাল ভেক্টর (শূন্য ভেক্টর) বলে। যেমন, A+(−A)=0।

কোনো ভারী বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে θ কোণে F বল দ্বারা টানলে বলটিকে দুটি উপাংশে বিভাজিত করা যায়: অনুভূমিক উপাংশ Fcos θ এবং উল্লম্ব উপাংশ Fsin θ।

অনুভূমিক উপাংশ Fcos θ বস্তুকে সামনের দিকে এগিয়ে নেয় এবং উল্লম্ব উপাংশ Fsin θ বস্তুর কার্যকর ওজন কমিয়ে দেয়। ফলে অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া mg−Fsin θ হয় এবং ঘর্ষণ বলও কমে যায়।

কোণ খুব বড় হলে Fcos θ কমে যায় এবং সামনে এগোনোর জন্য কার্যকর বল কম পাওয়া যায়। আবার কোণ শূন্য হলে ওজন কমানোর কোনো সুবিধা পাওয়া যায় না।

তাই স্বল্প কোণে টানলে অনুভূমিক উপাংশ বেশি থাকে, আবার কিছুটা উল্লম্ব উপাংশ ঘর্ষণ কমায়। এজন্য ভারী বস্তুকে স্বল্প কোণে টেনে নেওয়া সহজ।

AB=OB−OA

=(4−2)i+(2−3)j+(−3−1)k

=2i−j−4k

|AB|=2²+(−1)²+(−4)²=4+1+16=21

∴ |AB|=4.58 একক

অতএব, AB সংযোগকারী ভেক্টরের মান 21=4.58 একক।

উদ্দীপকের OAB ত্রিভুজের বাহুগুলো OA, AB ও OB। ত্রিভুজটি সমকোণী হলে যেকোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য হবে।

OA=2i+3j+k, OB=4i+2j−3k, AB=2i−j−4k

এখন,

OA⋅OB=(2)(4)+(3)(2)+(1)(−3)=8+6−3=11≠0

OA⋅AB=(2)(2)+(3)(−1)+(1)(−4)=4−3−4=−3≠0

OB⋅AB=(4)(2)+(2)(−1)+(−3)(−4)=8−2+12=18≠0

বাহুগুলোর মানের সাহায্যেও যাচাই করা যায়:

|OA|²=14, |OB|²=29, |AB|²=21

এখানে, বৃহত্তম বাহু OB এর জন্য 14+21=35≠29। অর্থাৎ পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ হয় না।

অতএব, উদ্দীপকের O, A ও B বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে না।