ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে অপারেটরকে কোনো স্কেলার বা ভেক্টর ক্ষেত্রের উপর প্রয়োগ করলে ভেক্টরধর্মী অন্তরীকরণ পাওয়া যায়, তাকে ভেক্টর অপারেটর বলে। ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে ভেক্টর অপারেটর (ডেল বা ন্যাবলা),

∇=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z

বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেডগুলো ঘূর্ণন তলের সাথে কিছুটা হেলানো (আনত) অবস্থায় থাকে। পাখা ঘুরলে আনত ব্লেডগুলো বাতাসের উপর তির্যকভাবে বল প্রয়োগ করে।

এই বল F কে দুটি লম্ব উপাংশে বিভাজিত করা যায়: ঘূর্ণন তল বরাবর উপাংশ Fcos θ এবং ঘূর্ণন তলের লম্ব বরাবর, অর্থাৎ নিচের দিকে উপাংশ Fsin θ।

ঘূর্ণন তল বরাবর উপাংশ বাতাসকে পাখার চারদিকে ঘোরায়, আর লম্ব উপাংশ বাতাসকে নিচের দিকে (পাখার সামনের দিকে) ঠেলে দেয়। এই নিম্নমুখী উপাংশের কারণে বাতাসের প্রবাহ আমাদের দিকে আসে।

তাই বৈদ্যুতিক পাখা ঘুরলে বলের নিম্নমুখী উপাংশের জন্য আমাদের গায়ে বাতাস লাগে।

চিত্রে α হলো OP ও OQ অবস্থান ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।

আমরা জানি,

cos α=OP⋅OQ|OP||OQ|

এখন, OP⋅OQ=(1)(2)+(2)(1)+(1)(1)=5

|OP|=1²+2²+1²=6

|OQ|=2²+1²+1²=6

বা, cos α=56×6=56

বা, α=cos⁻¹56

∴ α=33.56^∘

OR=i+j+2k ও OP এর মধ্যবর্তী কোণ এবং OR ও OQ এর মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনও 56, তাই α এর মান যেকোনোভাবে একই।

অতএব, α কোণের মান 33.56^∘।

ΔPOR এর বাহুগুলো OP, OR ও PR। ত্রিভুজটি সমকোণী হলে যেকোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য হবে।

OP=i+2j+k, OR=i+j+2k

PR=(1−1)i+(1−2)j+(2−1)k=0i−j+k

এখন,

OP⋅OR=(1)(1)+(2)(1)+(1)(2)=5≠0

OP⋅PR=(1)(0)+(2)(−1)+(1)(1)=−1≠0

OR⋅PR=(1)(0)+(1)(−1)+(2)(1)=1≠0

বাহুগুলোর মানের সাহায্যেও যাচাই করা যায়:

|OP|²=6, |OR|²=6, |PR|²=2

এখানে, 6+2=8≠6 এবং 6+6=12≠2। অর্থাৎ পিথাগোরাসের উপপাদ্য কোনো বাহুর জন্য সিদ্ধ হয় না। বরং |OP|=|OR|=6 হওয়ায় ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

অতএব, উদ্দীপকের ΔPOR সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে না; এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।