সিলেট বোর্ড ২০২৩ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো স্কেলার অপেক্ষক ϕ(x, y, z) এর উপর ভেক্টর অপারেটর ∇ প্রয়োগ করে যে ভেক্টর ক্ষেত্র পাওয়া যায় তাকে ঐ স্কেলার অপেক্ষকের গ্রেডিয়েন্ট বলে। অর্থাৎ, ∇ϕ=∂ϕ∂xi+∂ϕ∂yj+∂ϕ∂zk, যা ϕ এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার ও দিক নির্দেশ করে।

কাজ হলো বল ও সরণের স্কেলার গুণফল, W=F⋅s; তাই এর একক N×m=N m, যাকে জুল (J) বলা হয়। টর্ক হলো ব্যাসার্ধ ভেক্টর ও বলের ভেক্টর গুণফল, τ=r×F; তাই এর এককও m×N=N m।

সুতরাং মাত্রা ও এককের দিক থেকে কাজ ও টর্কের একক অভিন্ন, দুটির মাত্রাই [ML²T⁻²]। তবে এরা ভৌতভাবে ভিন্ন রাশি: কাজ একটি স্কেলার রাশি এবং শক্তির রূপান্তর নির্দেশ করে, অপরদিকে টর্ক একটি ভেক্টর রাশি এবং ঘূর্ণন প্রবণতা নির্দেশ করে। এ পার্থক্য বোঝাতে কাজের একক জুল লেখা হলেও টর্কের একককে কখনো জুল লেখা হয় না, N m লেখা হয়।

চিত্র থেকে P(2, −1, 3) ও Q(−2, 2, 1)।

PQ=(−2−2)i+(2+1)j+(1−3)k

∴ PQ=−4i+3j−2k

|PQ|=(−4)²+3²+(−2)²=29=5.385

∴ একক ভেক্টর,

a=PQ|PQ|=−4i+3j−2k29

অতএব, PQ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর 129(−4i+3j−2k)। (বিপরীতমুখী সমান্তরাল একক ভেক্টর −129(−4i+3j−2k)।)

ΔOPQ এর বাহুগুলো OP, OQ ও PQ। ত্রিভুজটি সমকোণী হলে যেকোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য হবে।

OP=2i−j+3k, OQ=−2i+2j+k, PQ=−4i+3j−2k

এখন,

OP⋅OQ=(2)(−2)+(−1)(2)+(3)(1)=−4−2+3=−3≠0

OP⋅PQ=(2)(−4)+(−1)(3)+(3)(−2)=−8−3−6=−17≠0

OQ⋅PQ=(−2)(−4)+(2)(3)+(1)(−2)=8+6−2=12≠0

বাহুগুলোর মানের সাহায্যেও যাচাই করা যায়:

|OP|²=14, |OQ|²=9, |PQ|²=29

এখানে, 14+9=23≠29, 14+29=43≠9, 9+29=38≠14। অর্থাৎ পিথাগোরাসের উপপাদ্য কোনো বাহুর জন্য সিদ্ধ হয় না।

অতএব, ΔOPQ সমকোণী ত্রিভুজ নয়।