দিনাজপুর বোর্ড ২০১৫ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো গতিশীল বস্তুর কোনো একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে বেগ পরিবর্তনের হারকে ঐ মুহূর্তে বস্তুর তাৎক্ষণিক ত্বরণ বলে। অর্থাৎ, a=lim_Δt→0ΔvΔt=dvdt।

উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর উপর অভিকর্ষ বল mg সর্বদা খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে। ফলে বস্তুর উপর নিচের দিকে অভিকর্ষজ ত্বরণ g কাজ করে, যা বস্তুর গতির দিকের বিপরীত।

গতির বিপরীতমুখী এই ত্বরণ বস্তুর জন্য মন্দন হিসেবে কাজ করে, তাই v=v₀−gt সম্পর্ক অনুসারে প্রতি সেকেন্ডে বস্তুর বেগ 9.8 m s⁻¹ করে কমতে থাকে। শক্তির দিক থেকে, বস্তু যত উপরে ওঠে তার গতিশক্তি তত বিভবশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। এজন্য উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বেগ হ্রাস পায় এবং সর্বোচ্চ উচ্চতায় শূন্য হয়।

চিত্র থেকে X(3, 2, 1) ও Y(−2, 1, 4) এবং মূলবিন্দু O(0, 0, 0)।

OX=3i+2j+k, OY=−2i+j+4k

আমরা জানি,

cos θ=OX⋅OY|OX||OY|

এখন, OX⋅OY=(3)(−2)+(2)(1)+(1)(4)=−6+2+4=0

|OX|=3²+2²+1²=14, |OY|=(−2)²+1²+4²=21

বা, cos θ=014×21=0

∴ θ=90^∘

অতএব, OX ও OY ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 90^∘, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।

OX ও OY এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর η₁=OX×OY|OX×OY| এবং OY ও OX এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর η₂=OY×OX|OY×OX|।

OX×OY=ijk321−214

=i(2×4−1×1)−j(3×4−1×(−2))+k(3×1−2×(−2))

=7i−14j+7k

|OX×OY|=7²+(−14)²+7²=294=76

∴ η₁=7i−14j+7k76=i−2j+k6

আবার, OY×OX=ijk−214321

=i(1×1−4×2)−j(−2×1−4×3)+k(−2×2−1×3)

=−7i+14j−7k

∴ η₂=−7i+14j−7k76=−i+2j−k6

দেখা যায়, η₂=−η₁। একক ভেক্টর দুটির মান সমান (1) এবং উভয়ই একই তলের উপর লম্ব, কিন্তু এদের দিক পরস্পর বিপরীত। কারণ ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না: OX×OY=−OY×OX; ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুসারে ঘূর্ণনের দিক উল্টে গেলে লম্ব ভেক্টরের দিকও উল্টে যায়।

অতএব, OX, OY এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর এবং OY, OX এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর একই হবে না; এরা মানে সমান কিন্তু বিপরীতমুখী।