সিলেট বোর্ড ২০১৯ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো দৃঢ় বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বল ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটিকে ঘোরানোর যে প্রবণতা সৃষ্টি করে, তাকে টর্ক বলে। ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বলের প্রয়োগবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর r ও বল F এর ভেক্টর গুণফলই টর্ক, τ=r×F।

আগে বিভিন্ন দেশে পরিমাপের জন্য ভিন্ন ভিন্ন একক পদ্ধতি (যেমন, এফপিএস, সিজিএস, এমকেএস) প্রচলিত ছিল। ফলে একই রাশিকে বিভিন্ন দেশে বিভিন্ন এককে প্রকাশ করা হতো।

এতে বৈজ্ঞানিক তথ্য, প্রযুক্তি ও পণ্যের আদান-প্রদানে বারবার এককের রূপান্তর করতে হতো, যা ছিল সময়সাপেক্ষ এবং ভুলের সম্ভাবনা থাকত।

এ সমস্যা দূর করে সারা বিশ্বে একটি অভিন্ন, সুসংগত ও সহজে ব্যবহারযোগ্য একক পদ্ধতি চালুর জন্য ১৯৬০ সালে আন্তর্জাতিক পদ্ধতি (SI) গৃহীত হয়। এই পদ্ধতিতে সাতটি মৌলিক একক থেকে সকল লব্ধ একক পাওয়া যায় এবং এটি দশমিক ভিত্তিক হওয়ায় হিসাব সহজ হয়।

চিত্রে সামান্তরিকের OA=P ও OC=Q সন্নিহিত বাহু এবং কর্ণ OB=R=P+Q। θ হলো R ও P এর মধ্যবর্তী কোণ।

আমরা জানি,

cos θ=P⋅RPR

এখন, R=P+Q=4i+5j+5k

P⋅R=(4)(4)+(3)(5)+(0)(5)=16+15+0=31

P=4²+3²=5, R=4²+5²+5²=66

বা, cos θ=31566=0.7632

∴ θ=cos⁻¹(0.7632)=40.26^∘

অতএব, θ এর মান 40.26^∘।

চিত্রে OA=P, OC=Q এবং OB=R=4i+5j+5k। দুটি ভেক্টরকে সন্নিহিত বাহু ধরে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তাদের ভেক্টর গুণফলের মানের অর্ধেক।

△OAB এর ক্ষেত্রে,

P×R=ijk430455=i(15−0)−j(20−0)+k(20−12)=15i−20j+8k

|P×R|=15²+(−20)²+8²=689=26.25

∴ △OAB এর ক্ষেত্রফল=12×26.25=13.12 বর্গ একক

△OBC এর ক্ষেত্রে,

R×Q=ijk455025=i(25−10)−j(20−0)+k(8−0)=15i−20j+8k

|R×Q|=689=26.25

∴ △OBC এর ক্ষেত্রফল=12×26.25=13.12 বর্গ একক

সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রে,

P×Q=ijk430025=i(15−0)−j(20−0)+k(8−0)=15i−20j+8k

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল=|P×Q|=689=26.25 বর্গ একক

এখন, ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি =13.12+13.12=26.25 বর্গ একক, যা সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান।

অতএব, △OAB ও △OBC এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রফলের সমান। কর্ণ OB সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।