চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং যার দিক নির্ণয় করা যায় না (অনির্দিষ্ট), তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে। যেমন, A−A=0।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র V এর ডাইভারজেন্স ∇⋅V দ্বারা ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুর চারপাশের একক আয়তন থেকে নির্গত নিট বহির্মুখী ফ্লাক্স (প্রবাহ) বোঝায়।

কোনো বিন্দুতে ∇⋅V>0 হলে ঐ বিন্দু থেকে ক্ষেত্র বা প্রবাহী বের হয়ে আসছে, অর্থাৎ বিন্দুটি উৎস (source)। ∇⋅V<0 হলে ঐ বিন্দুতে প্রবাহী ঢুকে যাচ্ছে, অর্থাৎ বিন্দুটি সিঙ্ক বা নির্গম (sink)। আর ∇⋅V=0 হলে যতটুকু প্রবেশ করে ততটুকুই বের হয়; এরূপ ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল ক্ষেত্র বলে। যেমন, অসংনম্য তরলের প্রবাহের ক্ষেত্রে বেগের ডাইভারজেন্স শূন্য।

ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর i। তাই P ও i এর মধ্যবর্তী কোণই নির্ণেয় কোণ।

আমরা জানি,

cos α=P⋅i|P||i|=P_x|P|

এখন, |P|=2²+2²+(−1)²=9=3

বা, cos α=23=0.6667

বা, α=cos⁻¹(0.6667)

∴ α=48.19^∘

অতএব, P ও ধনাত্মক x-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ 48.19^∘।

ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল,

P⋅Q=(2)(2)+(2)(2)+(−1)(a)=8−a

ভেক্টর গুণফল,

P×Q=ijk22−122a=i(2a+2)−j(2a+2)+k(4−4)

=(2a+2)i−(2a+2)j+0k

|P×Q|=(2a+2)²+(2a+2)²=22 |a+1|

শর্তানুসারে, |P×Q|=P⋅Q হলে,

22 |a+1|=8−a

উভয়পক্ষকে বর্গ করে,

8(a+1)²=(8−a)²

বা, 8a²+16a+8=64−16a+a²

বা, 7a²+32a−56=0

∴ a=−32±32²+4×7×562×7=−32±259214=−32±50.9114

∴ a=1.35 বা, a=−5.92

যাচাই: a=1.35 হলে, P⋅Q=8−1.35=6.65 এবং |P×Q|=22×2.35=6.65।

আবার, a=−5.92 হলে, P⋅Q=8+5.92=13.92 এবং |P×Q|=22×4.92=13.92।

অতএব, a=1.35 (অথবা a=−5.92) হলে ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হবে; অর্থাৎ a এর সম্ভাব্য মানের জন্য এটি সম্ভব। এক্ষেত্রে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 45^∘।