রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

দুটি ভেক্টরের মান সমান কিন্তু দিক পরস্পর বিপরীত হলে, একটিকে অপরটির বিপ্রতীপ ভেক্টর (বিপরীত ভেক্টর) বলে। যেমন, A এর বিপ্রতীপ ভেক্টর −A।

ধরি, P ও Q দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ α। তাহলে,

|P+Q|²=P²+Q²+2PQcos α

|P−Q|²=P²+Q²−2PQcos α

যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হলে, P²+Q²+2PQcos α=P²+Q²−2PQcos α, অর্থাৎ 4PQcos α=0।

যেহেতু P≠0 এবং Q≠0, তাই cos α=0, বা α=90^∘।

সুতরাং দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলেই কেবল তাদের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হয়; তখন উভয়ের মান P²+Q²।

বাসচালকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ v_rb=v_r−v_b। বাসের বেগকে অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশে বিভাজন করে আপেক্ষিক বেগের উপাংশ নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

বাসের বেগের অনুভূমিক উপাংশ,

v_x=v_bcos α=20cos 30^∘=17.32 m s⁻¹

উল্লম্ব উপাংশ (উপরের দিকে),

v_y=v_bsin α=20sin 30^∘=10 m s⁻¹

আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ (পেছনের দিকে) =17.32 m s⁻¹

আপেক্ষিক বেগের উল্লম্ব উপাংশ (নিচের দিকে),

v_r+v_y=6+10=16 m s⁻¹

tan θ=17.3216=1.0825

∴ θ=tan⁻¹(1.0825)=47.27^∘

আপেক্ষিক বেগের মান,

v_rb=17.32²+16²=23.58 m s⁻¹

অতএব, শুরুতে বাসচালক বৃষ্টিকে উল্লম্বের সাথে 47.27^∘ কোণে (অনুভূমিকের সাথে 42.73^∘ কোণে) সামনের দিক থেকে তির্যকভাবে পড়তে দেখবে।

অনুভূমিক বায়ুপ্রবাহ বৃষ্টির উল্লম্ব উপাংশ (6 m s⁻¹) পরিবর্তন করে না; তাই "খাড়া নিচের দিকে বৃষ্টি পড়তে দেখা" বলতে আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হওয়া ধরা হয়েছে (প্রচলিত গাইড বইয়ের ব্যাখ্যা)।

বাসচালক বৃষ্টিকে খাড়া নিচের দিকে পড়তে দেখলে বাসের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য। অর্থাৎ বায়ুপ্রবাহের ফলে বৃষ্টির অনুভূমিক উপাংশ বাসের বেগের অনুভূমিক উপাংশের সমান এবং বাসের গতির দিকে হতে হবে। বৃষ্টির উল্লম্ব উপাংশ আগের মতোই 6 m s⁻¹ নিচের দিকে।

আমরা জানি,

v=v2x+v2y

বা, v=(17.32)²+6²=336

∴ v=18.33 m s⁻¹

উল্লম্বের সাথে কোণ β হলে,

tan β=v_xv_y=17.326=2.887

∴ β=tan⁻¹(2.887)=70.89^∘

তখন বাসচালকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ শুধু উল্লম্ব দিকে, যার মান 6+10=16 m s⁻¹।

অতএব, বায়ুপ্রবাহের ফলে বৃষ্টির প্রকৃত বেগের মান 18.33 m s⁻¹ এবং এর দিক উল্লম্বের সাথে 70.89^∘ কোণে (অনুভূমিকের সাথে 19.11^∘ কোণে) বাসের গতির দিকে হেলানো অবস্থায় নিচের দিকে।