কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ভেক্টর অপারেটর ∇ এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের স্কেলার গুণফলকে ঐ বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স বলে। V এর ডাইভারজেন্স, ∇⋅V=∂V_x∂x+∂V_y∂y+∂V_z∂z।

একই রেখায় বা পরস্পর সমান্তরাল রেখায় ক্রিয়াশীল ভেক্টরগুলোকে সমরেখ ভেক্টর বলে। সমরেখ ভেক্টরগুলোর মান যেকোনো হতে পারে এবং দিক একই বা বিপরীত হতে পারে।

অপরদিকে, দুটি ভেক্টরের মান সমান এবং দিক একই হলে কেবল তখনই তাদের সমান ভেক্টর বলে।

যেমন, A, 2A ও −A সমরেখ ভেক্টর, কিন্তু এদের মান বা দিক ভিন্ন হওয়ায় এরা পরস্পর সমান নয়। তবে সকল সমান ভেক্টরই সমরেখ ভেক্টর।

সুতরাং সকল সমরেখ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়।

চিত্র অনুসারে করিম স্রোতের দিকের সাথে 120^∘ কোণে OB বরাবর 8 m s⁻¹ বেগে নৌকা চালায়। স্রোতের বেগ ও করিমের বেগের লব্ধিই অপর পাড়ে পৌঁছানোর বেগ।

আমরা জানি,

v_R=v²+u²+2vucos α

বা, v_R=8²+1²+2×8×1×cos 120^∘

বা, v_R=64+1−8=57

∴ v_R=7.55 m s⁻¹

অতএব, করিম 7.55 m s⁻¹ বেগে অপর পাড়ে পৌঁছাল।

নদী পার হওয়ার সময় শুধু নদীর প্রস্থ বরাবর (স্রোতের লম্ব দিকে) বেগের উপাংশের উপর নির্ভর করে; স্রোতের বেগ এই উপাংশকে প্রভাবিত করে না।

রহিমের ক্ষেত্রে,

t₁=dv₁=5007.5

∴ t₁=66.67 s

করিমের ক্ষেত্রে, প্রস্থ বরাবর উপাংশ,

v₂sin α=8sin 120^∘=6.93 m s⁻¹

t₂=dv₂sin α=5006.93

∴ t₂=72.17 s

এখানে, t₁<t₂ এবং t₂−t₁=72.17−66.67=5.5 s। করিমের বেগ বেশি হলেও তার বেগের একটি অংশ (8cos 120^∘=−4 m s⁻¹) উজানের দিকে ব্যয় হয়, ফলে প্রস্থ বরাবর কার্যকর উপাংশ মাত্র 6.93 m s⁻¹, যা রহিমের 7.5 m s⁻¹ এর চেয়ে কম।

অতএব, রহিম করিমের চেয়ে প্রায় 5.5 s আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে।