বরিশাল বোর্ড ২০২৪ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক x, y ও z অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল একক ভেক্টর i, j ও k কে আয়ত একক ভেক্টর বলে।

লন রোলার ঠেলার সময় হাতল বরাবর তির্যকভাবে নিচের দিকে F বল প্রয়োগ করা হয়। অনুভূমিকের সাথে θ কোণে বল প্রয়োগ করলে এর উলম্ব উপাংশ Fsin θ নিচের দিকে ক্রিয়া করে, ফলে রোলারের কার্যকর ওজন বেড়ে W+Fsin θ হয় এবং ঘর্ষণ বল বৃদ্ধি পায়।

অপরদিকে টানার সময় বলের উলম্ব উপাংশ Fsin θ উপরের দিকে ক্রিয়া করে, ফলে কার্যকর ওজন কমে W−Fsin θ হয় এবং ঘর্ষণ বল হ্রাস পায়।

উভয় ক্ষেত্রে অনুভূমিক উপাংশ Fcos θ রোলারকে সামনে এগিয়ে নেয়। টানার সময় ঘর্ষণ কম হওয়ায় কম বল প্রয়োগেই রোলার চালানো যায়। তাই লন রোলার ঠেলার চেয়ে টানা সহজ।

প্রথম সাঁতারু AB এর সাথে উজানের দিকে 10^∘ কোণে সাঁতার কাটে। তার বেগের স্রোতের বিপরীতে উপাংশ 16sin 10^∘, যা স্রোতের বেগ অপেক্ষা কম হওয়ায় সে ভাটির দিকে সরে D বিন্দুতে পৌঁছায়।

প্রস্থ বরাবর বেগ,

v_y=vcos 10^∘=16×0.9848=15.757 km h⁻¹

নদী পার হতে সময়,

t₁=dv_y=2015.757=1.2693 h

স্রোত বরাবর নিট বেগ,

v_x=u−vsin 10^∘=8−16×0.1736=5.222 km h⁻¹

আমরা জানি,

BD=v_xt₁

বা, BD=5.222×1.2693

∴ BD=6.63 km

অতএব, BD দূরত্ব 6.63 km।

নদী পার হওয়ার সময় নির্ভর করে শুধু প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশের উপর। 'গ' থেকে, প্রথম সাঁতারুর সময় t₁=1.2693 h।

দ্বিতীয় সাঁতারু স্রোতের সাথে 60^∘ কোণে সাঁতার কাটে।

দ্বিতীয় সাঁতারুর প্রস্থ বরাবর বেগ,

v_y′=vsin 60^∘=16×0.866=13.856 km h⁻¹

নদী পার হতে সময়,

t₂=dv_y′=2013.856=1.4434 h

প্রথম সাঁতারুর সময়,

t₁=1.2693 h

∴ t₂−t₁=1.4434−1.2693=0.1741 h=10.45 min

দেখা যায়, t₁<t₂। প্রথম সাঁতারুর বেগ প্রস্থের সাথে মাত্র 10^∘ কোণে থাকায় প্রস্থ বরাবর উপাংশ (15.757 km h⁻¹) বেশি, কিন্তু দ্বিতীয় সাঁতারুর বেগ প্রস্থের সাথে 30^∘ কোণে থাকায় প্রস্থ বরাবর উপাংশ (13.856 km h⁻¹) কম।

অতএব, প্রথম সাঁতারু দ্বিতীয় সাঁতারুর চেয়ে প্রায় 10.45 মিনিট আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে।