যশোর বোর্ড ২০২৪ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক x, y ও z অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল একক ভেক্টর i, j ও k কে আয়ত একক ভেক্টর বলে।

একটি ভেক্টর রাশিকে অপর একটি ভেক্টর রাশির সাথে স্কেলার (ডট) গুণন করলে স্কেলার রাশি পাওয়া যায়। কারণ দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল,

A⋅B=ABcos θ

যেখানে A, B ও cos θ সবই সংখ্যা, ফলে গুণফলের কোনো দিক থাকে না।

যেমন, বল F ও সরণ s উভয়ই ভেক্টর, কিন্তু এদের ডট গুণফল কাজ W=F⋅s একটি স্কেলার রাশি। একইভাবে, কোনো ভেক্টরের নিজের সাথে ডট গুণফল A⋅A=A² এবং কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ∇⋅V ও স্কেলার রাশি।

চিত্রে F₁ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে OX′ (ঋণাত্মক x-অক্ষ) এর সাথে 30^∘ কোণে ক্রিয়াশীল। তাই এর x-উপাংশ ঋণাত্মক ও y-উপাংশ ধনাত্মক।

আমরা জানি,

F₁=−F₁cos 30^∘ i+F₁sin 30^∘ j

বা, F₁=−15×0.866 i+15×0.5 j

∴ F₁=(−12.99i+7.5j) N

অতএব, F₁ এর ভেক্টর রূপ (−12.99i+7.5j) N।

চিত্রে F₂ প্রথম চতুর্ভাগে OX এর সাথে 30^∘ কোণে ক্রিয়াশীল।

F₂=10cos 30^∘ i+10sin 30^∘ j=(8.66i+5j) N

'গ' থেকে, F₁=(−12.99i+7.5j) N।

F₁+F₂=(−12.99+8.66)i+(7.5+5)j=(−4.33i+12.5j) N

F₁−F₂=(−12.99−8.66)i+(7.5−5)j=(−21.65i+2.5j) N

ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে।

(F₁+F₂)⋅(F₁−F₂)=(−4.33)(−21.65)+(12.5)(2.5)=93.75+31.25=125 N²≠0

বিকল্পভাবে, (F₁+F₂)⋅(F₁−F₂)=F21−F22=15²−10²=125≠0। এই গুণফল শূন্য হতে হলে F₁=F₂ হতে হতো, কিন্তু এখানে F₁≠F₂।

অতএব, উদ্দীপকে F₁+F₂ এবং F₁−F₂ পরস্পর লম্ব নয়।