ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ভেক্টর অপারেটর ∇ এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের স্কেলার গুণফলকে ঐ বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স বলে। অর্থাৎ, V ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স,

∇⋅V=∂V_x∂x+∂V_y∂y+∂V_z∂z

হাঁটার সময় আমরা মাটিতে পা দিয়ে তির্যকভাবে পেছনের দিকে বল প্রয়োগ করি। এই বলের প্রতিক্রিয়া বলের উলম্ব উপাংশ আমাদের ওজনকে ধারণ করে এবং অনুভূমিক উপাংশ আমাদেরকে সামনের দিকে এগিয়ে নেয়।

বালি নরম ও আলগা হওয়ায় পা দিয়ে চাপ দিলে বালি সরে যায় এবং পা বালিতে দেবে যায়। ফলে বালি পর্যাপ্ত প্রতিক্রিয়া বল দিতে পারে না, বিশেষ করে প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক উপাংশ খুব কম হয়। তাই সামনে এগোতে বেশি বল প্রয়োগ করতে হয় এবং পা টেনে তুলতেও বাড়তি শ্রম লাগে। এজন্য বালির উপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য।

চিত্র অনুসারে রহিম OB বরাবর, অর্থাৎ স্রোতের সাথে লম্বভাবে নৌকা চালায়। স্রোত তাকে ভাটির দিকে সরিয়ে R বিন্দুতে নিয়ে যায়, কিন্তু নদী পার হওয়ার সময় নির্ভর করে শুধু প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশের উপর।

আমরা জানি,

t=dv

বা, t=2 km5 km h⁻¹

বা, t=0.4 h=0.4×60 min

∴ t=24 min

অতএব, রহিম 24 মিনিটে নদী পার হয়েছিল।

করিম OA বরাবর রওনা দিয়ে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছায়। তাই ভূমির সাপেক্ষে করিমের লব্ধি বেগ v_K অনুভূমিক এবং OB বরাবর, যার মান 5.3 km h⁻¹। বৃষ্টি খাড়াভাবে নিচের দিকে v_r বেগে পড়ছে।

করিমের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ,

v_rK=v_r−v_K=v_r+(−v_K)

অর্থাৎ করিমের কাছে বৃষ্টিকে উল্লম্বের সাথে কোনো কোণে সামনের দিক থেকে তির্যকভাবে পড়তে দেখা যাবে। এই আপেক্ষিক বেগ যদি উল্লম্বের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে, তবে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে করিমকে ছাতা উল্লম্বের সাথে θ কোণে সামনের দিকে হেলিয়ে ধরতে হবে।

আমরা জানি,

tan θ=v_Kv_r

বা, tan θ=5.310=0.53

বা, θ=tan⁻¹(0.53)

∴ θ=27.92^∘

আপেক্ষিক বেগের মান,

v_rK=v2r+v2K=10²+5.3²

∴ v_rK=11.32 km h⁻¹

অতএব, বৃষ্টি থেকে বাঁচতে করিমকে ছাতা উল্লম্বের সাথে 27.92^∘ কোণে তার গতির দিকে (সামনের দিকে) হেলিয়ে ধরতে হবে।