ঢাকা বোর্ড ২০২৪ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে অপারেটর কোনো স্কেলার বা ভেক্টর রাশির উপর প্রয়োগ করলে ভেক্টরের মতো আচরণ করে এবং অন্তরীকরণ নির্দেশ করে, তাকে ভেক্টর অপারেটর বলে। যেমন, ডেল অপারেটর ∇=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z।

কোনো বস্তু বৃত্তাকার পথে ঘুরলে বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে যে বল ক্রিয়া করে তাকে কেন্দ্রমুখী বল বলে। এর মান,

F=mv²r=mω²r

সুতরাং কেন্দ্রমুখী বল নিম্নোক্ত বিষয়গুলোর উপর নির্ভর করে:

(i) বস্তুর ভর m: নির্দিষ্ট বেগ ও ব্যাসার্ধে কেন্দ্রমুখী বল ভরের সমানুপাতিক।

(ii) বস্তুর রৈখিক দ্রুতি v: নির্দিষ্ট ভর ও ব্যাসার্ধে কেন্দ্রমুখী বল দ্রুতির বর্গের সমানুপাতিক।

(iii) বৃত্তপথের ব্যাসার্ধ r: নির্দিষ্ট ভর ও দ্রুতিতে কেন্দ্রমুখী বল ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক।

চিত্রে স্রোত P থেকে M এর দিকে u=3 km h⁻¹ বেগে প্রবাহিত হচ্ছে এবং নৌকার বেগ v স্রোতের দিকের সাথে α=100^∘ কোণে PS বরাবর।

স্রোতের দিকে লব্ধি বেগের উপাংশ,

v_x=u+vcos α=3+5cos 100^∘=3−0.868=2.132 km h⁻¹

প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশ,

v_y=vsin α=5sin 100^∘=4.924 km h⁻¹

নদী পার হওয়ার সময়,

t=dv_y=24.924=0.4062 h

আমরা জানি,

QM=v_xt

বা, QM=2.132×0.4062

∴ QM=0.866 km

অতএব, QM এর দূরত্ব 0.866 km বা প্রায় 866 m।

নদী পার হওয়ার সময় শুধু প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশের উপর নির্ভর করে।

PS বরাবর চালিয়ে M এ পৌঁছানোর সময়,

t₁=dvsin α=25sin 100^∘=24.924

বা, t₁=0.4062 h=0.4062×60 min=24.37 min

স্রোতহীন অবস্থায় সরাসরি Q তে পৌঁছানোর সময়,

t₂=dv=25=0.4 h=24 min

সময়ের পার্থক্য,

Δt=t₁−t₂=24.37−24=0.37 min

∴ Δt=0.37×60 s≈22.2 s

PS বরাবর চালালে নৌকার বেগের একটি অংশ (5cos 100^∘) স্রোতের বিপরীতে ব্যয় হয়, ফলে প্রস্থ বরাবর কার্যকর বেগ 5 km h⁻¹ এর চেয়ে কম (4.924 km h⁻¹) হয়। কিন্তু স্রোতহীন অবস্থায় সরাসরি PQ বরাবর চালালে পুরো বেগই প্রস্থ বরাবর কাজ করে।

অতএব, PS বরাবর চালিয়ে M এ পৌঁছাতে স্রোতহীন অবস্থায় সরাসরি Q তে পৌঁছানোর চেয়ে প্রায় 0.37 মিনিট বা 22.2 সেকেন্ড বেশি সময় লাগে।