কুমিল্লা বোর্ড ২০১৫ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ভেক্টর অপারেটর ∇ এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর গুণফলকে ঐ বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির কার্ল বলে। V ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল =∇×V, যা ঐ বিন্দুতে ক্ষেত্রটির ঘূর্ণন প্রবণতা নির্দেশ করে।

বেগ একটি ভেক্টর রাশি; এর মান ও দিক উভয়ই আছে। সমবেগে চলা মানে বেগের মান ও দিক উভয়ই অপরিবর্তিত থাকা।

বৃত্তাকার পথে চলার সময় বস্তুর বেগের দিক প্রতিটি বিন্দুতে ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বরাবর থাকে। বৃত্তের প্রতিটি বিন্দুতে স্পর্শকের দিক ভিন্ন, তাই বেগের মান স্থির থাকলেও বেগের দিক প্রতিনিয়ত পরিবর্তিত হয়। ফলে বেগ পরিবর্তিত হয় এবং বস্তুর একটি কেন্দ্রমুখী ত্বরণ a=v²r থাকে।

সুতরাং বৃত্তাকার পথে বস্তু সমদ্রুতিতে চলতে পারে, কিন্তু সমবেগে চলা সম্ভব নয়।

চিত্রে নৌকা স্রোতের দিকের সাথে 37^∘ কোণে 10 m s⁻¹ বেগে চালানো হচ্ছে। প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশ নদী পারের সময় নির্ধারণ করে এবং তীর বরাবর মোট বেগ নৌকাকে B থেকে C পর্যন্ত সরিয়ে নেয়।

আমরা জানি,

t=dvsin θ

বা, t=3610sin 37^∘=366.018=5.98 s

তীর বরাবর মোট বেগ,

v_x=vcos θ+u=10cos 37^∘+3=7.986+3=10.986 m s⁻¹

এখন, BC=v_xt

বা, BC=10.986×5.98

∴ BC=65.72 m

অতএব, নদীর বিপরীত পাড়ে BC দূরত্ব 65.72 m (প্রায় 66 m)।

নৌকাকে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে নৌকার লব্ধি বেগ AB বরাবর হতে হবে। এজন্য মাঝিকে AB এর সাথে উজানের দিকে এমন α কোণে নৌকা চালাতে হবে, যাতে স্রোতের বিপরীতে নৌকার বেগের উপাংশ স্রোতের বেগের সমান হয়।

আমরা জানি,

vsin α=u

বা, sin α=uv=310=0.3

বা, α=sin⁻¹(0.3)

∴ α=17.46^∘

স্রোতের দিকের সাথে কোণ,

β=90^∘+17.46^∘=107.46^∘

লব্ধি বেগ,

v_R=vcos α=10cos 17.46^∘=9.54 m s⁻¹

সময়, t=dv_R=369.54=3.77 s

বর্তমানে নৌকা স্রোতের দিকের সাথে 37^∘ কোণে চলছে বলে ভাটির দিকে C বিন্দুতে পৌঁছায়। B তে পৌঁছাতে নৌকার দিক 107.46^∘−37^∘=70.46^∘ উজানের দিকে ঘুরিয়ে নিতে হবে।

অতএব, B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে মাঝিকে নৌকার বেগ 10 m s⁻¹ রেখে AB এর সাথে উজানের দিকে 17.46^∘ কোণে (অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে 107.46^∘ কোণে) নৌকা চালাতে হবে; তখন নৌকা 9.54 m s⁻¹ লব্ধি বেগে 3.77 s এ B তে পৌঁছাবে।