চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। P(x, y, z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, r=xi+yj+zk।

একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের মান সমান ও দিক একই হলে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলে। আবার একই বা সমান্তরাল রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল ভেক্টরগুলোকে সমান্তরাল ভেক্টর বলে; এদের মান সমান বা অসমান যেকোনোটি হতে পারে।

দুটি সমান ভেক্টরের দিক একই হওয়ায় তারা অবশ্যই একই দিকে সমান্তরাল। গাণিতিকভাবে, A=B হলে A×B=A×A=0, যা সমান্তরাল ভেক্টরের শর্ত।

কিন্তু সমান্তরাল ভেক্টরের মান ভিন্ন হতে পারে (যেমন A ও 2A) অথবা দিক বিপরীত হতে পারে (যেমন A ও −A); তখন তারা সমান নয়।

সুতরাং সমান ভেক্টর সর্বদাই সমান্তরাল ভেক্টর, কিন্তু সকল সমান্তরাল ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়।

আমরা জানি,

cos θ=A⋅BAB

এখানে, A⋅B=(2)3+2(3)+−3(−2)=23+32+23

বা, A⋅B=43+32=11.17

A=2²+2²+−3²=4+2+3=3

B=3²+3²+(−2)²=3+9+4=4

∴ cos θ=11.173×4=0.9309

∴ θ=cos⁻¹(0.9309)=21.42^∘

অতএব, A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ 21.42^∘।

দুটি সন্নিহিত বাহু A ও B দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =12|A×B|। যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বেশি, সেটি অধিক জায়গা দখল করবে।

A×B=ijk22−333−2

=i2(−2)−−3(3)−j(2)(−2)−−33+k(2)(3)−23

=i33−22−j(−4+3)+k6−6

=2.368i+j+3.551k

|A×B|=(2.368)²+1²+(3.551)²=19.21=4.383

প্রথম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

S₁=12|A×B|=4.3832=2.19 বর্গ একক

দ্বিতীয় ত্রিভুজের জন্য,

P×Q=3A×12B=32(A×B)

|P×Q|=32×4.383=6.575

দ্বিতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

S₂=12|P×Q|=6.5752=3.29 বর্গ একক

এখানে, S₂S₁=3.292.19=1.5, অর্থাৎ S₂>S₁।

অতএব, P ও Q দ্বারা গঠিত (দ্বিতীয়) ত্রিভুজটি অধিক জায়গা দখল করবে; এর ক্ষেত্রফল A ও B দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের 1.5 গুণ।