চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ — নিউটনীয় বলবিদ্যা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো দৃঢ় বস্তুর সমস্ত ভর ঘূর্ণন অক্ষ থেকে যে দূরত্বে কেন্দ্রীভূত আছে ধরলে ঐ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক একই থাকে, অক্ষ থেকে সেই দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলে। অর্থাৎ, I=MK² হলে K চক্রগতির ব্যাসার্ধ।

রোলার কোস্টার উল্লম্ব তলে বৃত্তাকার পথে ঘোরার সময় সর্বোচ্চ বিন্দুতে যাত্রীর উপর ওজন mg এবং আসনের প্রতিক্রিয়া বল R উভয়ই নিচের দিকে, অর্থাৎ কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে। এদের সমষ্টি প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করে:

R+mg=mv²r

রোলার কোস্টারের বেগ যথেষ্ট বেশি হলে, অর্থাৎ v≥gr হলে, mv²r≥mg হয় এবং R≥0 থাকে। তখন যাত্রীর ওজন পুরোটাই কেন্দ্রমুখী বল হিসেবে ব্যয় হয়, তাকে নিচে টেনে আনার মতো কোনো অতিরিক্ত বল থাকে না; বরং যাত্রী আসনের দিকে চাপ অনুভব করে।

তাই উল্লম্ব তলে ঘূর্ণায়মান রোলার কোস্টারের যাত্রী নিচে পড়ে যায় না।

চিত্র-১ এ দণ্ডটি এর নিজস্ব অক্ষ AB (জ্যামিতিক অক্ষ) এর সাপেক্ষে ঘুরছে। এ অক্ষের সাপেক্ষে নিরেট সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক I=12Mr²।

আমরা জানি,

I₁=12Mr²=12×5×(0.1)²

বা, I₁=0.025 kg m²

আবার, L₁=I₁ω

বা, L₁=0.025×1

∴ L₁=0.025 kg m² s⁻¹

অতএব, চিত্র-১ এর দণ্ডের কৌণিক ভরবেগ 0.025 kg m² s⁻¹।

ঘূর্ণায়মান দণ্ডকে থামাতে কতটা বাধার সম্মুখীন হতে হবে তা এর কৌণিক ভরবেগ (L=Iω) ও জড়তার ভ্রামকের উপর নির্ভর করে। উভয় দণ্ডের কৌণিক বেগ সমান, তাই যে দণ্ডের জড়তার ভ্রামক বেশি তার কৌণিক ভরবেগ বেশি এবং তাকে থামাতে বেশি টর্ক বা বেশি সময় লাগবে।

চিত্র-২ এ ঘূর্ণন অক্ষটি দণ্ডের ভারকেন্দ্রগামী অক্ষ AB এর সমান্তরাল এবং তা থেকে d=50 cm দূরে। সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে,

আমরা জানি,

I₂=I_G+Md²=12Mr²+Md²

বা, I₂=0.025+5×(0.5)²

বা, I₂=0.025+1.25=1.275 kg m²

∴ L₂=I₂ω=1.275×1=1.275 kg m² s⁻¹

তুলনা করে,

L₂L₁=1.2750.025=51

দেখা যায়, চিত্র-২ এর দণ্ডের জড়তার ভ্রামক ও কৌণিক ভরবেগ চিত্র-১ এর দণ্ডের 51 গুণ। সমান সময়ে থামাতে চাইলে চিত্র-২ এর দণ্ডে 51 গুণ বেশি টর্ক প্রয়োগ করতে হবে।

অতএব, চিত্র-২ এর দণ্ডটি থামাতে অধিক বাধার সম্মুখীন হতে হবে।