দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ভেক্টর অপারেটর ∇ এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর গুণফলকে ঐ বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির কার্ল বলে। অর্থাৎ, V এর কার্ল =∇×V।

যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা প্রারম্ভিক বিন্দু নির্দিষ্ট থাকে, ইচ্ছামতো সরানো যায় না, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে।

r=5i+3j হলো xy তলে (5, 3) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর। অবস্থান ভেক্টর সর্বদা মূলবিন্দু O(0, 0) থেকে শুরু হয়ে নির্দিষ্ট বিন্দু (5, 3) এ শেষ হয়।

এর পাদবিন্দুকে মূলবিন্দু থেকে অন্য কোথাও সরালে এটি আর (5, 3) বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করবে না। অর্থাৎ ভেক্টরটির পাদবিন্দু মূলবিন্দুতে আবদ্ধ। তাই r=5i+3j একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

A থেকে সোজা B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে নৌকাকে AB এর সাথে উজানের দিকে θ কোণে চালাতে হবে, যাতে নৌকার বেগের স্রোত বরাবর উপাংশ স্রোতের বেগকে প্রশমিত করে।

আমরা জানি,

v+u=20 ও v−u=10

যোগ করে,

2v=30 ∴ v=15 km h⁻¹

বিয়োগ করে,

2u=10 ∴ u=5 km h⁻¹

এখন, vsin θ=u

বা, sin θ=uv=515=13

∴ θ=19.47^∘

অতএব, নৌকাটিকে AB এর সাথে উজানের দিকে 19.47^∘ কোণে, অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে 90^∘+19.47^∘=109.47^∘ কোণে চালনা করতে হবে।

'গ' থেকে, নৌকার বেগ v=15 km h⁻¹, স্রোতের বেগ u=5 km h⁻¹ এবং নদীর প্রস্থ AB=d=2 km।

পূর্বের ক্ষেত্রে (সোজা B তে যেতে) লব্ধি বেগ,

v_R=v²−u²=15²−5²=200=14.14 km h⁻¹

সময়, t₁=dv_R=214.14=0.1414 h=8.49 min

সোজাসুজি (প্রস্থ বরাবর) রওয়ানা করলে সময়,

t₂=dv=215=0.1333 h=8 min

তখন ভাটির দিকে সরণ,

x=u t₂=5×215=0.667 km

দেখা যায়, t₂<t₁। সোজাসুজি রওয়ানা করলে নৌকার সম্পূর্ণ বেগ (15 km h⁻¹) প্রস্থ বরাবর কাজ করে, কিন্তু সোজা B তে যেতে হলে প্রস্থ বরাবর কার্যকর বেগ কমে 14.14 km h⁻¹ হয়। তবে এক্ষেত্রে নৌকা B বিন্দুতে না পৌঁছে B থেকে 0.667 km ভাটিতে পৌঁছাবে।

অতএব, নৌকাটি A বিন্দু হতে সোজাসুজি রওয়ানা করলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে 8.49−8=0.49 মিনিট (প্রায় 29 সেকেন্ড) কম সময় লাগতো।