দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ — কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো দৃঢ় বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুকে ঘোরানোর যে প্রবণতা সৃষ্টি করে, তাকে টর্ক বলে। ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বলের প্রয়োগবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর r হলে, টর্ক τ=r×F।

সংরক্ষণশীল বল দ্বারা কৃতকাজ কেবল বস্তুর আদি ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে, বস্তু কোন পথে গেল তার উপর নয়। যেমন, m ভরের একটি বস্তুকে A বিন্দু থেকে h উচ্চতার B বিন্দুতে সোজা খাড়া পথে, হেলানো তল বেয়ে বা যেকোনো বাঁকা পথে তোলা হলে প্রতিক্ষেত্রেই অভিকর্ষ বল দ্বারা কৃতকাজ,

W=−mgh

কারণ যেকোনো পথকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র উলম্ব ও অনুভূমিক অংশে ভাগ করলে অনুভূমিক অংশে অভিকর্ষ কোনো কাজ করে না, আর উলম্ব অংশগুলোর যোগফল সর্বদা h। ফলে কোনো সংরক্ষণশীল বল দ্বারা A থেকে B তে কৃতকাজ সব পথে সমান এবং কোনো বদ্ধ পথে মোট কাজ শূন্য হয়। তাই সংরক্ষণশীল বল বস্তুর গতিপথের উপর নির্ভর করে না।

চৌবাচ্চার অর্ধেক অর্থাৎ উপরের 10 m পানি খালি করতে হয়। এই পানিকে গড়ে 102=5 m উচ্চতা তুলতে হয়।

পানির ভর,

m=πr²h₁ρ=3.1416×(2)²×10×1000=125663.71 kg

লভ্য ক্ষমতা,

P_o=mght=125663.71×9.8×51200=5131.27 W

আমরা জানি,

P_i=P_oη=5131.270.75=6841.69 W

∴ P_i=6841.69746 hp=9.17 hp

অতএব, পাম্পটির ক্ষমতা 9.17 hp।

বাকি অর্ধেক পানি চৌবাচ্চার নিচের 10 m অংশে আছে। এর ভরকেন্দ্র চৌবাচ্চার মুখ থেকে 10+102=15 m নিচে, তাই এই পানিকে গড়ে 15 m তুলতে হবে। 'গ' থেকে পাই, পানির ভর m=125663.71 kg এবং পাম্পের লভ্য ক্ষমতা P_o=5131.27 W।

প্রয়োজনীয় কাজ,

W₂=mgh₂=125663.71×9.8×15=1.847×10⁷ J

আমরা জানি,

t₂=W₂P_o=1.847×10⁷5131.27

∴ t₂=3600 s=60 min

দেখা যায়, প্রথম অর্ধেক খালি করতে 20 মিনিট লাগলেও বাকি অর্ধেকের জন্য 60 মিনিট লাগবে, অর্থাৎ তিনগুণ সময়। কারণ পানির ভর সমান হলেও বাকি পানিকে গড়ে তিনগুণ উচ্চতা (15 m বনাম 5 m) তুলতে হয়।

অতএব, চৌবাচ্চার বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে পাম্পটির একই সময় লাগবে না; 60 মিনিট লাগবে।