যশোর বোর্ড ২০১৯ — কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল লব্ধি বল দ্বারা কৃতকাজ বস্তুটির গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান। অর্থাৎ, W=12mv²−12mu²।

কোনো স্প্রিংয়ের মুক্ত প্রান্তকে একক দৈর্ঘ্য প্রসারিত বা সংকুচিত করতে যে বল প্রয়োগ করতে হয়, তাকে স্প্রিং ধ্রুবক বলে। হুকের সূত্র থেকে F=−kx, তাই k=Fx।

স্প্রিং ধ্রুবক স্প্রিংয়ের দৃঢ়তা বা শক্ততা নির্দেশ করে। k এর মান বেশি হলে স্প্রিংটি শক্ত, অর্থাৎ নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য প্রসারণে বেশি বল লাগে; k কম হলে স্প্রিংটি নরম।

যেমন, কোনো স্প্রিংয়ের স্প্রিং ধ্রুবক 100 N m⁻¹ বলতে বোঝায়, স্প্রিংটিকে 1 m প্রসারিত বা সংকুচিত করতে 100 N বল প্রয়োগ করতে হয়।

তাছাড়া স্প্রিংয়ে সঞ্চিত বিভব শক্তি E_p=12kx² এবং স্প্রিংয়ে যুক্ত বস্তুর দোলনকাল T=2πmk উভয়ই k এর উপর নির্ভর করে।

চিত্রে DE=6 m এবং আনত তলের কোণ ∠DAE=30^∘। বস্তুটি D থেকে A পর্যন্ত নামে এবং গতীয় ঘর্ষণ বল F_k=2 N গতির বিপরীতে (তল বরাবর উপরের দিকে) ক্রিয়া করে।

আনত তলের দৈর্ঘ্য,

AD=DEsin 30^∘=60.5=12 m

আমরা জানি,

W=F_k scos 180^∘

বা, W=2×12×(−1)

∴ W=−24 J

অতএব, আনত তল বেয়ে নামার সময় গতীয় ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ −24 J, অর্থাৎ কাজের মান 24 J (ঘর্ষণের বিরুদ্ধে)।

AB=BC=CD=123=4 m। বস্তুটি D থেকে স্থির অবস্থা থেকে নামছে ধরি। ভূমি AE কে প্রসঙ্গ তল ধরলে C বিন্দুর উচ্চতা h_C=ACsin 30^∘=8×0.5=4 m এবং B বিন্দুর উচ্চতা h_B=ABsin 30^∘=4×0.5=2 m।

তল বরাবর ত্বরণ,

a=mgsin 30^∘−F_km=50×9.8×0.5−250=4.86 m s⁻²

C বিন্দুতে,

v2C=2a⋅DC=2×4.86×4=38.88 m² s⁻²

E_kC=12mv2C=12×50×38.88=972 J

E_pC=mgh_C=50×9.8×4=1960 J

∴ E_C=972+1960=2932 J

B বিন্দুতে,

v2B=2a⋅DB=2×4.86×8=77.76 m² s⁻²

E_kB=12×50×77.76=1944 J

E_pB=mgh_B=50×9.8×2=980 J

∴ E_B=1944+980=2924 J

দেখা যায়, E_C−E_B=2932−2924=8 J, যা C থেকে B পর্যন্ত ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কৃতকাজ F_k×CB=2×4=8 J এর সমান। আবার D বিন্দুতে মোট শক্তি mg⋅DE=50×9.8×6=2940 J, যা থেকে C তে 8 J এবং B তে 16 J কমে গেছে। এই শক্তি ঘর্ষণের ফলে তাপে রূপান্তরিত হয়েছে।

অতএব, ঘর্ষণ বল (অসংরক্ষণশীল বল) ক্রিয়া করায় B ও C বিন্দুতে মোট যান্ত্রিক শক্তি সমান নয়, তাই B ও C বিন্দুতে যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা প্রতিফলিত হয়নি।

বস্তুটি D বিন্দু থেকে স্থির অবস্থা থেকে নামতে শুরু করে এবং ঘর্ষণ বল 2 N পুরো পথে ধ্রুব ধরা হয়েছে।