ঢাকা বোর্ড ২০২৩ — কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান দৃঢ় বস্তুর প্রতিটি কণার ভর এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ঐ কণার লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টিকে ঐ অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটির জড়তার ভ্রামক বলে। অর্থাৎ, I=∑m_ir2i।

m ভরের কোনো বস্তু v বেগে চললে তার ভরবেগ p=mv এবং গতিশক্তি,

E_k=12mv²=(mv)²2m=p²2m

নির্দিষ্ট ভরের বস্তুর জন্য 2m ধ্রুবক, তাই E_k∝p²। অর্থাৎ ভরবেগকে ভুজ (x-অক্ষ) এবং গতিশক্তিকে কোটি (y-অক্ষ) বরাবর নিয়ে লেখচিত্র আঁকলে মূলবিন্দুগামী একটি পরাবৃত্ত পাওয়া যায় (চিত্রে m=1 kg ধরা হয়েছে)।

লেখচিত্র থেকে দেখা যায়, ভরবেগ শূন্য হলে গতিশক্তিও শূন্য এবং ভরবেগ দ্বিগুণ হলে গতিশক্তি চারগুণ হয়। পরাবৃত্তের ঢাল dE_kdp=pm=v, অর্থাৎ যেকোনো বিন্দুতে লেখের ঢাল বস্তুর বেগ নির্দেশ করে।

প্রথম পাম্পটি কুয়ার উপরের অর্ধেক পানি তোলে। এই অর্ধেক পানির ভরকেন্দ্র কুয়ার মুখ থেকে 154=3.75 m নিচে থাকে।

আমরা জানি,

m=Vρ=πr²hρ

বা, m=3.1416×(1)²×15×1000=47123.89 kg

প্রথম পাম্পের তোলা পানির ভর,

m₁=m2=23561.94 kg

এখন, W₁=m₁gh₁

বা, W₁=23561.94×9.8×3.75

∴ W₁=8.66×10⁵ J

অতএব, প্রথম পাম্পের দ্বারা কৃতকাজ 8.66×10⁵ J।

দ্বিতীয় পাম্পটি কুয়ার নিচের অর্ধেক পানি তোলে, যার ভরকেন্দ্র কুয়ার মুখ থেকে 152+154=11.25 m নিচে। উভয় পাম্পের ক্ষমতা P=6 HP=6×746=4476 W।

দ্বিতীয় পাম্পের কৃতকাজ,

W₂=m₂gh₂=23561.94×9.8×11.25=2.598×10⁶ J

প্রথম পাম্পের সময়,

t₁=W₁P=8.66×10⁵4476=193.45 s

দ্বিতীয় পাম্পের সময়,

t₂=W₂P=2.598×10⁶4476=580.36 s

∴ t₂t₁=580.36193.45=3

উভয় পাম্প সমান ভরের পানি তুললেও নিচের অর্ধেক পানিকে গড়ে তিনগুণ বেশি উচ্চতায় তুলতে হয়, তাই দ্বিতীয় পাম্পকে তিনগুণ বেশি কাজ করতে হয়।

অতএব, পাম্প দুটি দ্বারা পানি তুলতে একই সময় লাগবে না; প্রথম পাম্পের লাগে 193.45 s আর দ্বিতীয় পাম্পের লাগে 580.36 s, যা প্রথমটির তিনগুণ।