ঢাকা বোর্ড ২০২৩ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তুর জড়তার ভ্রামক ও কৌণিক বেগের গুণফলকে কৌণিক ভরবেগ বলে। অর্থাৎ, কোনো কণার অবস্থান ভেক্টর r ও রৈখিক ভরবেগ p হলে কৌণিক ভরবেগ, L=r×p=Iω।

বল F ও সরণ s এর স্কেলার গুণফলই কাজ:

W=F⋅s=Fscos θ

এ সমীকরণ থেকে দেখা যায়, নিচের যেকোনো একটি শর্ত পূরণ হলে কাজের মান শূন্য হবে।

(i) প্রযুক্ত বল শূন্য হলে, অর্থাৎ F=0 হলে; যেমন—ঘর্ষণহীন তলে সমবেগে চলমান বস্তুর ক্ষেত্রে।

(ii) বল প্রয়োগ সত্ত্বেও সরণ শূন্য হলে, অর্থাৎ s=0 হলে; যেমন—দেয়াল ঠেললে দেয়াল না সরলে কোনো কাজ হয় না।

(iii) বল ও সরণ পরস্পর লম্ব হলে, অর্থাৎ θ=90^∘ হলে cos 90^∘=0; যেমন—বৃত্তপথে ঘূর্ণায়মান বস্তুর উপর কেন্দ্রমুখী বল কোনো কাজ করে না।

প্রথম সাঁতারু স্রোতের প্রতিকূলের সাথে 60^∘ কোণে সাঁতার কাটে, অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে তার বেগের কোণ α=180^∘−60^∘=120^∘।

আমরা জানি,

R=v²+u²+2vucos α

বা, R=6²+3²+2×6×3×cos 120^∘

বা, R=36+9−18=27

∴ R=5.196 km h⁻¹

লব্ধির দিক,

tan β=vsin αu+vcos α=6sin 120^∘3+6cos 120^∘=5.1960=∞

∴ β=90^∘

অতএব, প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ 5.196 km h⁻¹, যা স্রোতের সাথে 90^∘ কোণে, অর্থাৎ সোজা আড়াআড়িভাবে অপর পাড়ের দিকে ক্রিয়া করে।

নদী পার হওয়ার সময় নির্ভর করে শুধু প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশের উপর। 'গ' থেকে পাই, প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ 5.196 km h⁻¹ সম্পূর্ণ প্রস্থ বরাবর। দ্বিতীয় সাঁতারু আড়াআড়িভাবে সাঁতার কাটায় প্রস্থ বরাবর তার বেগ 6 km h⁻¹; স্রোত তাকে শুধু ভাটির দিকে সরিয়ে নেয়, পার হওয়ার সময়ে প্রভাব ফেলে না।

প্রথম সাঁতারুর সময়,

t₁=dR=15.196=0.1925 h

∴ t₁=0.1925×60=11.55 min

দ্বিতীয় সাঁতারুর সময়,

t₂=dv=16=0.1667 h

∴ t₂=0.1667×60=10 min

দেখা যায়, t₂<t₁; দ্বিতীয় সাঁতারু প্রথম জনের চেয়ে 11.55−10=1.55 মিনিট কম সময় নেয়।

অতএব, উক্ত প্রতিযোগিতায় দ্বিতীয় সাঁতারু আগে নদী পার হতে পারবে, যদিও প্রথম সাঁতারু ঠিক বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছায় এবং দ্বিতীয় সাঁতারু কিছুটা ভাটিতে গিয়ে পৌঁছায়।