রাজশাহী বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

বাঁকা রাস্তায় যানবাহন নিরাপদে বাঁক নেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করতে রাস্তার বাইরের প্রান্তকে ভেতরের প্রান্তের চেয়ে কিছুটা উঁচু করে তৈরি করা হয়। একে রাস্তার ব্যাংকিং বলে।

তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হবে যদি ভেক্টর তিনটিকে মানে ও দিকে একই ক্রমে সাজালে একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গঠিত হয়। অর্থাৎ প্রথম ভেক্টরের শেষবিন্দু থেকে দ্বিতীয়টি এবং দ্বিতীয়টির শেষবিন্দু থেকে তৃতীয়টি আঁকলে তৃতীয় ভেক্টরের শেষবিন্দু প্রথম ভেক্টরের আদিবিন্দুতে মিলে যায়।

এক্ষেত্রে যেকোনো দুটি ভেক্টরের লব্ধি তৃতীয় ভেক্টরের সমান ও বিপরীতমুখী হয়: A+B=−C, তাই A+B+C=0।

এজন্য ভেক্টর তিনটিকে একই সমতলে থাকতে হবে এবং যেকোনো একটির মান অপর দুটির মানের যোগফলের চেয়ে বেশি হতে পারবে না।

A×B=ijk22−16−32

=i{(2)(2)−(−1)(−3)}−j{(2)(2)−(−1)(6)}+k{(2)(−3)−(2)(6)}

=i(4−3)−j(4+6)+k(−6−12)

=i−10j−18k

|A×B|=1²+(−10)²+(−18)²=425=20.62

∴ একক ভেক্টর,

η=A×B|A×B|=i−10j−18k425

অতএব, A ও B উভয়ের লম্বদিকে একক ভেক্টর ±i−10j−18k425।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল। উদ্দীপকে,

C=(6xy+z³)i−(3x²−z)j+(3xz²−y)k

অর্থাৎ, C_x=6xy+z³, C_y=−3x²+z, C_z=3xz²−y।

∇×C=ijk∂∂x∂∂y∂∂z6xy+z³−3x²+z3xz²−y

=i∂∂y(3xz²−y)−∂∂z(−3x²+z)+j∂∂z(6xy+z³)−∂∂x(3xz²−y)+k∂∂x(−3x²+z)−∂∂y(6xy+z³)

=i(−1−1)+j(3z²−3z²)+k(−6x−6x)

=−2i+0j−12xk≠0

অতএব, উদ্দীপকের C ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল নয়, এটি ঘূর্ণনশীল।

উদ্দীপকে j পদের আগে যদি + চিহ্ন থাকত, অর্থাৎ (3x²−z)j হতো, তবে ∇×C=0 হতো এবং ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল হতো।