রাজশাহী বোর্ড ২০২২ — মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

পর্যায়বৃত্ত গতিসম্পন্ন কোনো কণার যেকোনো মুহূর্তের গতির অবস্থা (সরণ, বেগ ও গতির দিক) যে রাশি দ্বারা প্রকাশ করা হয় তাকে দশা বলে। সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ x=Asin (ωt+δ) এ (ωt+δ) হলো দশা।

পৃথিবীকে ρ ঘনত্বের সুষম গোলক ধরলে এর ভর M=43πR³ρ। তাই ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

g=GMR²=GR²×43πR³ρ=43πGRρ

অর্থাৎ ব্যাসার্ধ অপরিবর্তিত থাকলে g∝ρ। পৃথিবীর ঘনত্ব বাড়লে ভর বাড়ে এবং g এর মান বৃদ্ধি পায়; ঘনত্ব কমলে g এর মান হ্রাস পায়।

তাই পৃথিবীর ঘনত্বের পরিবর্তনে অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন হবে। (তবে ভর অপরিবর্তিত রেখে কেবল ব্যাসার্ধ বদলে ঘনত্ব পরিবর্তন হলে g=GMR² অনুসারে g বদলায়।)

আমরা জানি,

g_h=gRR+h²

বা, g_h=9.81×64006400+500²

বা, g_h=9.81×64006900²=9.81×0.8603

∴ g_h=8.44 m s⁻²

অতএব, উদ্দীপকের উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান 8.44 m s⁻²।

ভূস্থির উপগ্রহের পর্যায়কাল 24 ঘণ্টা হতে হয়। উদ্দীপকের উপগ্রহটির পর্যায়কাল এবং ভূস্থির হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় উচ্চতা নির্ণয় করি। এখানে GM=gR²।

উপগ্রহটির পর্যায়কাল,

T=2π(R+h)³gR²

বা, T=2×3.1416×(6.9×10⁶)³9.81×(6.4×10⁶)²

∴ T=5681.19 s=1.58 h

ভূস্থির কক্ষপথের ব্যাসার্ধ (T₀=24 h),

r₀=gR²T204π²¹³=9.81×(6.4×10⁶)²×(86400)²4×(3.1416)²¹³

∴ r₀=4.235×10⁷ m

∴ প্রয়োজনীয় উচ্চতা,

h₀=r₀−R=3.595×10⁷ m≈35954 km

ঐ কক্ষপথে প্রয়োজনীয় বেগ,

v₀=gR²r₀=3.08×10³ m s⁻¹

দেখা যায়, 500 km উচ্চতায় উপগ্রহটির পর্যায়কাল মাত্র 1.58 ঘণ্টা, যা 24 ঘণ্টার চেয়ে অনেক কম। এই উচ্চতায় থেকে পর্যায়কাল 24 ঘণ্টা করা সম্ভব নয়, কারণ নির্দিষ্ট উচ্চতায় বৃত্তাকার কক্ষপথের বেগ ও পর্যায়কাল নির্দিষ্ট (T∝(R+h)^3/2)।

অতএব, উদ্দীপকের উচ্চতায় উপগ্রহটিকে ভূস্থির উপগ্রহে রূপান্তর সম্ভব নয়। একে ভূস্থির করতে হলে বিষুবীয় তলে ভূপৃষ্ঠ থেকে প্রায় 35954 km উচ্চতার কক্ষপথে তুলে পৃথিবীর আবর্তনের দিকে প্রায় 3.08 km s⁻¹ বেগ দিতে হবে।