চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ — মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

ন্যূনতম যে বেগে কোনো বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা পৃথিবীর মহাকর্ষ ক্ষেত্র অতিক্রম করে চলে যায় এবং আর ফিরে আসে না, তাকে মুক্তিবেগ বলে। পৃথিবীর ক্ষেত্রে v_e=2gR≈11.2 km s⁻¹।

দোলক ঘড়ির পর্যায়কাল, T=2πLg, অর্থাৎ T∝L। দোলকের দণ্ড ধাতুর তৈরি হওয়ায় তাপমাত্রা বাড়লে এর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায়, ফলে পর্যায়কাল বাড়ে।

পর্যায়কাল বাড়লে দোলকটি নির্দিষ্ট সময়ে কম সংখ্যক দোলন দেয়, তাই গ্রীষ্মকালে ঘড়ি ধীরে চলে (সময় হারায়)।

আবার তাপমাত্রা কমলে দণ্ডের দৈর্ঘ্য কমে, পর্যায়কাল কমে যায়; ফলে দোলক বেশি দোলন দেয় এবং শীতকালে ঘড়ি দ্রুত চলে (সময় বাড়ায়)। এজন্য পরিবেশের তাপমাত্রার হ্রাস-বৃদ্ধির সাথে দোলক ঘড়ি দ্রুত কিংবা ধীরে চলে।

মহাকর্ষীয় বিভব স্কেলার রাশি, তাই মধ্যবিন্দুতে মোট বিভব হবে সূর্য ও পৃথিবীর জন্য বিভবের বীজগাণিতিক যোগফল।

আমরা জানি,

V=−GM_sr−GM_er=−G(M_s+M_e)r

বা, V=−6.673×10⁻¹¹×(2×10³⁰+6×10²⁴)7.5×10¹⁰

বা, V=−(1.7795×10⁹+5338.4)

∴ V=−1.78×10⁹ J kg⁻¹

অতএব, সূর্য ও পৃথিবীর সংযোগরেখার মধ্যবিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব −1.78×10⁹ J kg⁻¹।

ধরি, পৃথিবী থেকে x দূরত্বে সংযোগরেখার উপর কোনো বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য শূন্য। সংযোগরেখার দুই বস্তুর মাঝখানে পৃথিবীর প্রাবল্য পৃথিবীর দিকে এবং সূর্যের প্রাবল্য সূর্যের দিকে, অর্থাৎ বিপরীতমুখী। তাই শূন্য প্রাবল্যের জন্য,

GM_ex²=GM_s(d−x)²

d−xx=±M_sM_e=±2×10³⁰6×10²⁴=±577.35

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে,

x=d1+577.35=1.5×10¹¹578.35

∴ x=2.59×10⁸ m

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে,

x=d1−577.35=1.5×10¹¹−576.35

∴ x=−2.6×10⁸ m

প্রথম মানটি (x=2.59×10⁸ m) পৃথিবী ও সূর্যের মাঝখানে, পৃথিবী থেকে 2.59×10⁸ m দূরে; সেখানে দুটি প্রাবল্য সমান ও বিপরীতমুখী, তাই লব্ধি শূন্য।

দ্বিতীয় মানটি ঋণাত্মক, অর্থাৎ বিন্দুটি পৃথিবীর অপর পাশে (সূর্য ও পৃথিবীর মাঝখানে নয়)। সেখানে সূর্য ও পৃথিবী উভয়ের প্রাবল্য একই দিকে (সূর্যের দিকে) ক্রিয়া করে, ফলে এরা পরস্পরকে প্রশমিত করতে পারে না। একইভাবে সূর্যের বাইরের পাশেও উভয় প্রাবল্য একমুখী। তাই এই বিন্দুগুলোতে প্রাবল্য শূন্য হয় না।

অতএব, পৃথিবী ও সূর্যের সংযোগকারী সরলরেখার উপর একাধিক বিন্দুতে প্রাবল্য শূন্য হওয়া সম্ভব নয়; কেবল একটি বিন্দুতে, পৃথিবী থেকে 2.59×10⁸ m দূরে, প্রাবল্য শূন্য হয়।