যশোর বোর্ড ২০২৩ — মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো স্প্রিংয়ের মুক্ত প্রান্তকে একক দৈর্ঘ্য প্রসারিত বা সংকুচিত করতে যে বল প্রয়োগ করতে হয় তাকে ঐ স্প্রিংয়ের স্প্রিং ধ্রুবক বলে। হুকের সূত্র F=−kx থেকে, k=|F|x; এর একক N m⁻¹।

ধরি, m ভরের একটি বস্তুর উপর F ধ্রুব বল ক্রিয়া করায় বস্তুটির বেগ v₁ থেকে v₂ হলো এবং এ সময়ে বলের দিকে সরণ s। তাহলে ত্বরণ a=Fm এবং

v22=v21+2as ⇒ as=12(v22−v21)

বলদ্বারা কৃতকাজ,

W=Fs=mas=12mv22−12mv21=E_k2−E_k1=ΔE_k

অর্থাৎ কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল নিট বল দ্বারা কৃতকাজ বস্তুটির গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান। একে কাজ-শক্তি উপপাদ্য বলে। বল ধনাত্মক কাজ করলে গতিশক্তি বাড়ে, ঋণাত্মক কাজ করলে গতিশক্তি কমে।

উপগ্রহটিকে ভূপৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় তুলতে কৃতকাজ এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তির বৃদ্ধির সমান।

আমরা জানি,

W=GMm1R−1R+h

বা, W=6.673×10⁻¹¹×6×10²⁴×10³16.4×10⁶−13.64×10⁷

বা, W=4.004×10¹⁷×1.288×10⁻⁷

∴ W=5.16×10¹⁰ J

অতএব, কৃত্রিম উপগ্রহটিকে উল্লিখিত উচ্চতায় তুলতে 5.16×10¹⁰ J কাজ করতে হয়েছে।

কোনো উচ্চতায় উপগ্রহ স্থায়ীভাবে বৃত্তাকার কক্ষপথে আবর্তন করতে হলে তার বেগ ঐ উচ্চতার কক্ষীয় বেগ v₀=GMR+h এর সমান হতে হবে, যাতে মহাকর্ষ বল ঠিক প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগায়।

আমরা জানি,

v₀=GMR+h

বা, v₀=6.673×10⁻¹¹×6×10²⁴3.64×10⁷

বা, v₀=1.1×10⁷

∴ v₀=3316.54 m s⁻¹=3.32 km s⁻¹

এখন ঐ উচ্চতায় উপগ্রহটির উপর মহাকর্ষ বল এবং বৃত্তপথে 3 km s⁻¹ বেগে ঘুরতে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল তুলনা করি:

F_g=GMm(R+h)²=4.004×10¹⁷(3.64×10⁷)²=302.20 N

F_c=mv²R+h=10³×(3×10³)²3.64×10⁷=247.25 N

দেখা যায়, উপগ্রহটির বেগ v=3 km s⁻¹, যা প্রয়োজনীয় কক্ষীয় বেগ 3.32 km s⁻¹ এর চেয়ে কম। ফলে মহাকর্ষ বল (302.20 N) প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের (247.25 N) চেয়ে বেশি, তাই উপগ্রহটি পৃথিবীর দিকে টান অনুভব করে নিচের দিকে নেমে আসবে এবং এই বৃত্তাকার কক্ষপথে থাকতে পারবে না।

অতএব, উদ্দীপকে উল্লিখিত উচ্চতায় 3 km s⁻¹ বেগে ঘূর্ণনরত কৃত্রিম উপগ্রহটি স্থায়ী হবে না। স্থায়ী হতে হলে এর বেগ বাড়িয়ে 3.32 km s⁻¹ করতে হবে।