যশোর বোর্ড ২০২৩ — স্থির তড়িৎ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

শূন্য মাধ্যমে কোনো বদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত মোট তড়িৎ ফ্লাক্স ঐ তল দ্বারা পরিবেষ্টিত মোট আধানের 1ϵ₀ গুণ। অর্থাৎ ∮E⋅dA=qϵ₀।

R ব্যাসার্ধের একটি গোলাকার পরিবাহীতে q আধান দিলে সমস্ত আধান এর পৃষ্ঠে অবস্থান করে এবং পরিবাহীর ভেতরে তড়িৎ প্রাবল্য শূন্য হয়।

ভেতরে প্রাবল্য শূন্য হওয়ায় ভেতরের যেকোনো দুই বিন্দুর বিভব পার্থক্যও শূন্য; ফলে কেন্দ্র থেকে পৃষ্ঠ পর্যন্ত (r≤R) সর্বত্র বিভব ধ্রুব এবং পৃষ্ঠের বিভবের সমান, V=14πϵ₀qR। তাই এ অংশে লেখচিত্রটি দূরত্ব-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা।

গোলকের বাইরে (r>R) গোলকটি কেন্দ্রে অবস্থিত বিন্দু আধানের মতো আচরণ করে, তাই V=14πϵ₀qr, অর্থাৎ V∝1r।

ফলে পৃষ্ঠ থেকে দূরত্ব বাড়ার সাথে সাথে বিভব ক্রমশ কমতে থাকে এবং লেখচিত্রটি একটি পরাবৃত্তাকার (আয়ত পরাবৃত্ত) বক্ররেখা হয়, যা অসীম দূরত্বে শূন্যের দিকে অগ্রসর হয়।

অর্থাৎ লেখচিত্রটি কেন্দ্র থেকে পৃষ্ঠ পর্যন্ত অনুভূমিক সরলরেখা এবং পৃষ্ঠের বাইরে ক্রমহ্রাসমান বক্ররেখা।

বিভব স্কেলার রাশি, তাই A বিন্দুতে মোট বিভব B ও C বিন্দুর আধানদ্বয়ের জন্য বিভবের যোগফল।

আমরা জানি,

V_A=14πϵ₀q_BAB+q_CAC

বা, V_A=9×10⁹×1.6762+1.6762

বা, V_A=9×10⁹×1.676

∴ V_A=1.51×10¹⁰ V

অতএব, A বিন্দুর বিভব 1.51×10¹⁰ V (প্রায় 1.508×10¹⁰ V)।

উদ্দীপকে P বস্তুর আধান উল্লেখ নেই; গাইড বইয়ের প্রচলিত ব্যাখ্যা অনুসারে P বস্তুটিকে ধনাত্মক আধানে আহিত ধরে ঝুলে থাকার জন্য প্রয়োজনীয় আধান নির্ণয় করা হয়েছে, এবং g=9.8 m s⁻² ধরা হয়েছে।

P বস্তুটি A বিন্দুতে ঝুলে (ভেসে) থাকতে হলে এর উপর ক্রিয়াশীল ঊর্ধ্বমুখী তড়িৎ বল এর ওজনের সমান হতে হবে। তাই A বিন্দুতে B ও C এর আধানের জন্য লব্ধি প্রাবল্য নির্ণয় করি।

B বা C এর জন্য A বিন্দুতে প্রাবল্য,

E_B=E_C=14πϵ₀qa²=9×10⁹×1.676(2)²=3.771×10⁹ N C⁻¹

E_B এর দিক BA বরাবর এবং E_C এর দিক CA বরাবর; উভয়ে উল্লম্বের সাথে 30^∘ কোণ করে।

অনুভূমিক উপাংশ,

E_Bsin 30^∘−E_Csin 30^∘=0

উল্লম্ব উপাংশ,

E=E_Bcos 30^∘+E_Ccos 30^∘=2×3.771×10⁹×0.866

বা, E=6.53×10⁹ N C⁻¹ (ঊর্ধ্বমুখী)

P এর ওজন,

W=mg=2×9.8=19.6 N

ঝুলে থাকার শর্ত,

qE=mg

বা, q=mgE=19.66.53×10⁹

∴ q=3×10⁻⁹ C

দেখা যায়, A বিন্দুতে লব্ধি তড়িৎ প্রাবল্য খাড়া ঊর্ধ্বমুখী এবং এর মান 6.53×10⁹ N C⁻¹; অনুভূমিক উপাংশদ্বয় পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। সুতরাং P বস্তুটি +3×10⁻⁹ C (3 nC) আধানে আহিত থাকলে এর উপর ঊর্ধ্বমুখী তড়িৎ বল qE=19.6 N হবে, যা ঠিক এর ওজনের সমান; ফলে বস্তুটি সাম্যাবস্থায় ঝুলে থাকবে। (P অনাহিত হলে কোনো তড়িৎ বল থাকত না এবং বস্তুটি নিচে পড়ে যেত।)

অতএব, P বস্তুটি 3 nC ধনাত্মক আধানে আহিত হলে এটি A বিন্দুতে ঝুলে থাকবে; তাই লাবিবার উক্তিটি সঠিক।