যশোর বোর্ড ২০২৩ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। P(x, y, z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, r=xi+yj+zk।

একই জাতীয় দুটি ভেক্টর A ও B এর যোগফল ও বিয়োগফল ভেক্টর হিসেবে সমান হলে,

A+B=A−B ⇒ 2B=0 ⇒ B=0

অর্থাৎ শুধু একটি ভেক্টর শূন্য ভেক্টর হলেই ভেক্টর দুটির যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে; দুটি অশূন্য ভেক্টরের ক্ষেত্রে তা সম্ভব নয়।

তবে যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে:

|A+B|²=A²+B²+2ABcos θ, |A−B|²=A²+B²−2ABcos θ

এ দুটি সমান হলে 4ABcos θ=0, অর্থাৎ θ=90^∘। সুতরাং ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হলে এদের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হয়, কিন্তু দিক ভিন্ন হয়।

এখানে চতুর্ভুজ বলতে A ও B কে সন্নিহিত বাহু ধরে গঠিত সামান্তরিক বোঝানো হয়েছে।

আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,

S=|A×B|

A×B=ijk11−12−2−3

=i{(1)(−3)−(−1)(−2)}−j{(1)(−3)−(−1)(2)}+k{(1)(−2)−(1)(2)}

=i(−3−2)−j(−3+2)+k(−2−2)=−5i+j−4k

∴ S=(−5)²+1²+(−4)²=42

∴ S=6.48 বর্গ একক

অতএব, ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের (সামান্তরিকের) ক্ষেত্রফল 6.48 বর্গ একক।

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে এদের স্কেলার গুণফল শূন্য হবে।

A⋅B=(1)(2)+(1)(−2)+(−1)(−3)

বা, A⋅B=2−2+3=3≠0

|A|=1²+1²+(−1)²=3

|B|=2²+(−2)²+(−3)²=17

cos θ=A⋅BAB=33×17=0.4201

∴ θ=cos⁻¹(0.4201)=65.16^∘

যেহেতু A⋅B=3≠0 এবং ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 65.16^∘, যা 90^∘ নয়।

অতএব, উদ্দীপকের ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব নয়।