রাজশাহী, যশোর, ঢাকা ও সিলেট বোর্ড ২০১৮ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো বস্তু কোনো বিন্দু বা অক্ষকে কেন্দ্র করে ঘুরলে সময়ের সাথে তার কৌণিক সরণের পরিবর্তনের হারকে কৌণিক বেগ বলে। অর্থাৎ, ω=dθdt; এর একক rad s⁻¹।

বল F প্রয়োগে বস্তুর সরণ s হলে কৃতকাজ হলো বল ও সরণের স্কেলার (ডট) গুণফল:

W=F⋅s=Fscos θ

দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল সর্বদা একটি স্কেলার রাশি, কারণ এর ফলাফল শুধু একটি সংখ্যা (Fscos θ), যার কোনো দিক নেই। কাজের মান কেবল বলের মান, সরণের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর নির্ভর করে, কোনো নির্দিষ্ট দিকের উপর নয়। তাই বল ও সরণ ভেক্টর রাশি হলেও তাদের দ্বারা সৃষ্ট কাজ স্কেলার রাশি।

চিত্র-১ অনুসারে উত্তর দিকে 8 N, দক্ষিণ দিকে 2 N এবং পূর্ব দিকে 8 N বল ক্রিয়া করছে। উত্তর ও দক্ষিণমুখী বল পরস্পর বিপরীত হওয়ায় এদের লব্ধি উত্তর দিকে 8−2=6 N, যা পূর্বমুখী বলের সাথে লম্ব।

আমরা জানি,

F=F2x+F2y

বা, F=8²+(8−2)²=64+36

বা, F=100

∴ F=10 N

অতএব, বস্তুটির উপর ক্রিয়াশীল নিট বলের মান 10 N।

চিত্র-২ এ দেখানো হয়েছে যে বস্তুটির ত্বরণ a=1 m s⁻² এবং এর দিক পূর্ব দিকের সাথে উত্তরে 36.87^∘ কোণে। চিত্র-১ থেকে এটি যাচাই করি।

আমরা জানি,

a=FM

বা, a=10 N10 kg

∴ a=1 m s⁻²

পূর্ব দিকের সাথে নিট বলের কোণ,

tan θ=F_yF_x=68=0.75

∴ θ=tan⁻¹(0.75)=36.87^∘

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে ত্বরণ সর্বদা নিট বলের দিকে হয়। তাই বস্তুর ত্বরণের মান 1 m s⁻² এবং দিক পূর্ব দিকের সাথে উত্তরে 36.87^∘ কোণে, যা চিত্র-২ এর মান ও দিকের সাথে হুবহু মিলে যায়।

অতএব, চিত্র-১ এর আলোকে চিত্র-২ সঠিক।