বরিশাল বোর্ড ২০১৯ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

গতিশীল কোনো বস্তুর সাপেক্ষে অপর কোনো গতিশীল বস্তুর অবস্থান ভেক্টরের পরিবর্তনের হারকে প্রথম বস্তুর সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুর আপেক্ষিক বেগ বলে। A এর সাপেক্ষে B এর আপেক্ষিক বেগ, v_BA=v_B−v_A।

হাঁটার সময় আমরা মাটিতে পা দিয়ে তির্যকভাবে পেছনের দিকে বল প্রয়োগ করি। এই বলের প্রতিক্রিয়া বলের উলম্ব উপাংশ আমাদের ওজনকে ধারণ করে এবং অনুভূমিক উপাংশ আমাদেরকে সামনের দিকে এগিয়ে নেয়।

বালি নরম ও আলগা হওয়ায় পা দিয়ে চাপ দিলে বালি সরে যায় এবং পা বালিতে দেবে যায়। ফলে বালি পর্যাপ্ত প্রতিক্রিয়া বল দিতে পারে না, বিশেষ করে প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক উপাংশ খুব কম হয়। তাই সামনে এগোতে বেশি বল প্রয়োগ করতে হয় এবং পা টেনে তুলতেও বাড়তি শ্রম লাগে। এজন্য বালির উপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য।

দুটি ভেক্টরকে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ভেক্টরদ্বয়ের ভেক্টর গুণফলের মানের সমান।

আমরা জানি,

ক্ষেত্রফল=|A×B|

A×B=ijk21−11−2−3

=i{(1)(−3)−(−1)(−2)}−j{(2)(−3)−(−1)(1)}+k{(2)(−2)−(1)(1)}

=i(−3−2)−j(−6+1)+k(−4−1)=−5i+5j−5k

বা, |A×B|=(−5)²+5²+(−5)²=75

∴ ক্ষেত্রফল=8.66 বর্গ একক

অতএব, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 8.66 বর্গ একক।

প্রথমে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী বর্তমান কোণ নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

cos θ=A⋅BAB

A⋅B=(2)(1)+(1)(−2)+(−1)(−3)=2−2+3=3

A=2²+1²+(−1)²=6, B=1²+(−2)²+(−3)²=14

বা, cos θ=3614=384=0.3273

∴ θ=cos⁻¹(0.3273)=70.89^∘

এ অবস্থায় ডট গুণফল A⋅B=3 এবং ক্রস গুণফলের মান |A×B|=75=8.66; অর্থাৎ এরা সমান নয়।

মধ্যবর্তী কোণ θ′ হলে ডট ও ক্রস গুণফলের মান সমান হওয়ার শর্ত,

ABcos θ′=ABsin θ′

বা, tan θ′=1

∴ θ′=45^∘

সুতরাং কোণের পরিবর্তন,

Δθ=θ−θ′=70.89^∘−45^∘=25.89^∘

তখন, A⋅B=|A×B|=84cos 45^∘=42=6.48

অতএব, অনিকের পর্যবেক্ষণ সঠিক। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 70.89^∘ থেকে 25.89^∘ কমিয়ে 45^∘ করলে তাদের ডট গুণফল ও ক্রস গুণফলের মান সমান (6.48) হবে।