যশোর বোর্ড ২০২১ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

একটি ভেক্টরকে দুই বা ততোধিক ভেক্টরে এমনভাবে বিভক্ত করা যাতে বিভক্ত ভেক্টরগুলোর লব্ধি মূল ভেক্টরের সমান হয়, এই প্রক্রিয়াকে ভেক্টর বিভাজন বলে। বিভক্ত ভেক্টরগুলোকে মূল ভেক্টরের উপাংশ বলে।

ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞা অনুসারে,

k×k=|k||k|sin 0^∘ η=(1)(1)(0) η=0

একটি ভেক্টর তার নিজের সাথে 0^∘ কোণ উৎপন্ন করে এবং sin 0^∘=0। তাই k×k এর মান শূন্য।

যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে নাল ভেক্টর বলে। এছাড়া এখানে k ও k একই রেখায় থাকায় এদের দ্বারা কোনো তল গঠিত হয় না, ফলে গুণফলের দিকও নির্দিষ্ট নয়। সুতরাং k×k একটি নাল ভেক্টর।

আমরা জানি,

cos θ=OP⋅OQ|OP||OQ|

এখানে, OP⋅OQ=(2)(6)+(2)(−3)+(−1)(2)=12−6−2=4

|OP|=2²+2²+(−1)²=9=3

|OQ|=6²+(−3)²+2²=49=7

∴ cos θ=43×7=421=0.1905

∴ θ=cos⁻¹(0.1905)=79.02^∘

অতএব, OP ও OQ এর মধ্যবর্তী কোণ θ=79.02^∘।

তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করলে তাদের স্কেলার ত্রিগুণফল শূন্য হবে, অর্থাৎ OP⋅(PQ×OQ)=0 হবে।

PQ=OQ−OP=(6−2)i+(−3−2)j+(2+1)k=4i−5j+3k

PQ×OQ=ijk4−536−32

=i((−5)(2)−(3)(−3))−j((4)(2)−(3)(6))+k((4)(−3)−(−5)(6))

=i(−10+9)−j(8−18)+k(−12+30)

=−i+10j+18k

OP⋅(PQ×OQ)=(2)(−1)+(2)(10)+(−1)(18)

=−2+20−18

∴ OP⋅(PQ×OQ)=0

এছাড়া, OP+PQ=(2+4)i+(2−5)j+(−1+3)k=6i−3j+2k=OQ। অর্থাৎ ভেক্টর তিনটি OPQ ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করে, আর ত্রিভুজ সর্বদা একটি সমতলে থাকে।

অতএব, স্কেলার ত্রিগুণফল শূন্য হওয়ায় OP, PQ ও OQ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে।