চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। P(x, y, z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, r=xi+yj+zk।

ট্রলি ব্যাগ টানার সময় হাতল বরাবর তির্যকভাবে বল F প্রয়োগ করা হয়। হাতল অনুভূমিকের সাথে θ কোণে থাকলে বলের অনুভূমিক উপাংশ Fcos θ ব্যাগকে সামনে এগিয়ে নেয় এবং উলম্ব উপাংশ Fsin θ ব্যাগকে উপরের দিকে টেনে এর কার্যকর ওজন কমায়।

হাতল লম্বা হলে হাতল অনুভূমিকের সাথে কম কোণ উৎপন্ন করে, ফলে cos θ এর মান বেশি হয় এবং বলের বেশি অংশ সামনে টানার কাজে লাগে। এছাড়া হাত স্বাভাবিক উচ্চতায় রেখে আরামদায়কভাবে টানা যায়, ঝুঁকে পড়তে হয় না।

তাই কম বল প্রয়োগে সহজে ও আরামে ব্যাগ টানার জন্য ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয়।

চিত্রে কুবেরের নৌকা AC বরাবর স্রোতের দিকের সাথে 120^∘ কোণে চলছে।

আমরা জানি,

R=v²+u²+2vucos α

বা, R=(5.5)²+(1.2)²+2×5.5×1.2cos 120^∘

বা, R=30.25+1.44−6.6=25.09

∴ R=5.009 m s⁻¹

অতএব, কুবেরের নৌকা প্রকৃতপক্ষে 5.009 m s⁻¹ মানের বেগে অপর পাড়ে পৌঁছাল।

নদী পার হওয়ার সময় নির্ভর করে শুধু প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশের উপর। সুজন AB বরাবর অর্থাৎ প্রস্থ বরাবর চালায়, আর কুবের AC বরাবর স্রোতের সাথে 120^∘ কোণে চালায়।

সুজনের প্রস্থ বরাবর বেগ =6 m s⁻¹

সুজনের সময়,

t₁=dv₁=4006=66.67 s

কুবেরের প্রস্থ বরাবর বেগ,

v₂sin 120^∘=5.5×0.866=4.763 m s⁻¹

কুবেরের সময়,

t₂=dv₂sin 120^∘=4004.763=83.98 s

দেখা যায়, t₁<t₂। সুজনের নৌকার পুরো বেগ প্রস্থ বরাবর কাজ করে এবং তার বেগও বেশি; অপরদিকে কুবেরের বেগের একটি অংশ (5.5cos 60^∘=2.75 m s⁻¹) উজানের দিকে ব্যয় হয়।

অতএব, সুজন কুবেরের চেয়ে 83.98−66.67=17.31 s আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে।