ঢাকা বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

দুটি ভেক্টরের মান সমান এবং দিক একই হলে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলে। এদের আদিবিন্দু ভিন্ন হতে পারে।

ভেক্টর অপারেটর ∇ (ডেল) কে লেখা হয়,

∇=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z

এটি নিজে কোনো ভৌত রাশি নয়, তবে ভেক্টরের ধর্মবিশিষ্ট একটি অন্তরক অপারেটর। কোনো স্কেলার রাশি ϕ(x, y, z) এর উপর এটি প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়,

∇ϕ=∂ϕ∂xi+∂ϕ∂yj+∂ϕ∂zk

এ রাশিমালায় তিনটি অক্ষ বরাবর উপাংশ ও একক ভেক্টর i, j, k আছে, তাই এটি একটি ভেক্টর রাশি, যাকে গ্রেডিয়েন্ট বলে। এটি ϕ এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের মান ও দিক নির্দেশ করে। যেমন—তাপমাত্রা (স্কেলার) এর গ্রেডিয়েন্ট তাপমাত্রা নতিমাত্রা (ভেক্টর)। এভাবে ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে।

PQ=OQ−OP

বা, PQ=(2−2)i+(−4−4)j+(−4−2)k

বা, PQ=0i−8j−6k

|PQ|=0²+(−8)²+(−6)²=100

∴ |PQ|=10 একক

অতএব, PQ এর মান 10 একক।

P ও Q এর অবস্থান ভেক্টর,

OP=2i+4j+2k, OQ=2i−4j−4k

ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে এদের স্কেলার গুণফল শূন্য হবে।

OP⋅OQ=(2)(2)+(4)(−4)+(2)(−4)

বা, OP⋅OQ=4−16−8=−20≠0

|OP|=2²+4²+2²=24

|OQ|=2²+(−4)²+(−4)²=36=6

cos θ=OP⋅OQ|OP||OQ|=−2024×6=−0.6804

∴ θ=cos⁻¹(−0.6804)=132.88^∘

যেহেতু OP⋅OQ=−20≠0 এবং মধ্যবর্তী কোণ 132.88^∘≠90^∘।

অতএব, P ও Q এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব নয়।