সিলেট বোর্ড ২০১৯ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণনক্ষম কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল ও ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বলের প্রয়োগ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলকে টর্ক বলে। অর্থাৎ, τ=r×F।

পূর্বে বিভিন্ন দেশে বা অঞ্চলে দৈর্ঘ্য, ভর, সময় ইত্যাদি পরিমাপের জন্য ভিন্ন ভিন্ন একক (যেমন— গজ, হাত, সের, মণ, পাউন্ড ইত্যাদি) প্রচলিত ছিল। একই রাশি ভিন্ন ভিন্ন এককে প্রকাশিত হওয়ায় এক দেশের পরিমাপ অন্য দেশে বোঝা ও তুলনা করা কঠিন ছিল এবং এক একক থেকে অন্য এককে রূপান্তরে জটিলতা ও ভুলের সম্ভাবনা থাকত।

ফলে আন্তর্জাতিক ব্যবসা-বাণিজ্য, বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির তথ্য আদান-প্রদানে অসুবিধা দেখা দেয়। এসব সমস্যা দূর করে সারা বিশ্বে একটি সর্বজনগ্রাহ্য, সুসংগত ও সহজ পরিমাপ পদ্ধতি চালুর জন্য ১৯৬০ সালে আন্তর্জাতিক একক পদ্ধতি (SI) প্রবর্তন করা হয়।

চিত্রে OABC সামান্তরিকের OA=P, OC=Q এবং কর্ণ OB=R=P+Q। θ হলো R ও P এর মধ্যবর্তী কোণ।

R=P+Q=4i+(3+2)j+5k=4i+5j+5k

P⋅R=(4)(4)+(3)(5)+(0)(5)=16+15+0=31

P=4²+3²=5, R=4²+5²+5²=66

আমরা জানি,

cos θ=P⋅RPR

বা, cos θ=31566=3140.62=0.7632

∴ θ=cos⁻¹(0.7632)=40.26^∘

অতএব, θ এর মান 40.26^∘।

দুটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তাদের ক্রস গুণফলের মানের অর্ধেক এবং সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ক্রস গুণফলের মানের সমান। এখানে OA=P, OB=R=4i+5j+5k, OC=Q।

ΔOAB এর ক্ষেত্রে,

P×R=ijk430455=i(15−0)−j(20−0)+k(20−12)=15i−20j+8k

ΔOAB=12|P×R|=1215²+(−20)²+8²=12689=13.12 বর্গ একক

ΔOBC এর ক্ষেত্রে,

R×Q=ijk455025=i(25−10)−j(20−0)+k(8−0)=15i−20j+8k

ΔOBC=12|R×Q|=12689=13.12 বর্গ একক

সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রে,

P×Q=ijk430025=i(15−0)−j(20−0)+k(8−0)=15i−20j+8k

OABC=|P×Q|=689=26.25 বর্গ একক

এখন, ΔOAB+ΔOBC=13.12+13.12=26.25 বর্গ একক, যা সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রফলের সমান।

অতএব, ΔOAB ও ΔOBC এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক OABC এর ক্ষেত্রফলের সমান। কর্ণ OB সামান্তরিকটিকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।