ঢাকা বোর্ড ২০১৬ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো তরল কোনো কঠিন পদার্থের সংস্পর্শে থাকলে স্পর্শবিন্দু থেকে তরলের তলে অঙ্কিত স্পর্শক কঠিন পদার্থের তলের সাথে তরলের ভেতর দিয়ে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে ঐ তরল ও কঠিনের স্পর্শ কোণ বলে।

বৈদ্যুতিক পাখা একটি দৃঢ় বস্তু, যা একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারদিকে ঘোরে। ঘূর্ণনের সময় পাখার সকল বিন্দু একই সময়ে একই কৌণিক সরণ অতিক্রম করে, কারণ দৃঢ় বস্তুর বিন্দুগুলোর পারস্পরিক অবস্থান পরিবর্তিত হয় না।

কৌণিক বেগ ω=θt। যেহেতু t সময়ে প্রতিটি বিন্দুর কৌণিক সরণ θ সমান, তাই সকল বিন্দুর কৌণিক বেগ ω সমান।

তবে অক্ষ থেকে দূরত্ব r ভিন্ন হওয়ায় বিন্দুগুলোর রৈখিক বেগ v=ωr ভিন্ন হয়; অক্ষ থেকে দূরের বিন্দুর রৈখিক বেগ বেশি।

চিত্রে নিচের দিকের ভেক্টরের লেবেল অস্পষ্টভাবে R দেখায়; প্রশ্নানুসারে এটিই B (ঋণাত্মক y-অক্ষ বরাবর) ধরা হয়েছে।

চিত্রে A ধনাত্মক x-অক্ষের সাথে 60^∘ কোণে এবং B ঋণাত্মক y-অক্ষ বরাবর। তাই এদের মধ্যবর্তী কোণ θ=60^∘+90^∘=150^∘।

আমরা জানি,

|A−B|=A²+B²−2ABcos θ

বা, |A−B|=5²+6²−2×5×6×cos 150^∘

বা, |A−B|=25+36−60×(−0.866)=61+51.96

বা, |A−B|=112.96

∴ |A−B|=10.63

অতএব, (A−B) এর মান 10.63 একক।

চিত্র থেকে ভেক্টর দুটিকে উপাংশে প্রকাশ করি।

A=5cos 60^∘ i+5sin 60^∘ j=2.5i+4.33j

B=−6j

A×B=ijk2.54.3300−60

=i(0−0)−j(0−0)+k(2.5×(−6)−4.33×0)=−15k

A+B=2.5i+(4.33−6)j=2.5i−1.67j

(A×B)⋅(A+B)=(0)(2.5)+(0)(−1.67)+(−15)(0)=0

দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলে তারা পরস্পর লম্ব। এখানে (A×B) ভেক্টরটি −z অক্ষ বরাবর, আর (A+B) ভেক্টরটি xy তলে অবস্থিত। সাধারণভাবেও, A×B সর্বদা A ও B উভয়ের উপর লম্ব, তাই এদের তলে অবস্থিত A+B এর উপরও লম্ব।

অতএব, (A×B)⋅(A+B)=0 হওয়ায় (A×B) ভেক্টরটি (A+B) এর উপর লম্বভাবে অবস্থিত — উক্তিটি সত্য।