চট্টগ্রাম, বরিশাল ও কুমিল্লা বোর্ড ২০১৮ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ঘটনা বা প্রক্রিয়ার ব্যাখ্যার জন্য পর্যবেক্ষণ ও পূর্বজ্ঞানের ভিত্তিতে যে সাময়িক ধারণা বা অনুমান প্রস্তাব করা হয়, যা পরবর্তীতে পরীক্ষা-নিরীক্ষার মাধ্যমে যাচাই করা যায়, তাকে অনুকল্প বলে।

কোনো বলের বিরুদ্ধে বা বল দ্বারা একটি বস্তুকে যেকোনো পথে ঘুরিয়ে আবার আদি অবস্থানে আনলে মোট কৃতকাজ শূন্য হলে, অথবা কৃতকাজ কেবল আদি ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে এবং পথের উপর নির্ভর না করলে, ঐ বলকে সংরক্ষণশীল বল বলে।

m ভরের কোনো বস্তুকে h উচ্চতায় তুললে অভিকর্ষ বলের বিরুদ্ধে কাজ −mgh হয়, যে পথেই তোলা হোক না কেন। আবার বস্তুটি নামিয়ে আদি অবস্থানে আনলে অভিকর্ষ বল +mgh কাজ করে। ফলে পূর্ণ চক্রে মোট কাজ,

W=−mgh+mgh=0

অভিকর্ষ বলের ক্ষেত্রে কৃতকাজ পথের উপর নির্ভর করে না এবং বদ্ধ পথে মোট কাজ শূন্য। তাই অভিকর্ষ বল একটি সংরক্ষণশীল বল।

বস্তুটি সুষম বেগে B থেকে C তে 2 s এ পৌঁছায়। তাই বেগ = সরণ ভেক্টর ÷ সময়।

BC=(1−3)i+(−3+2)j+(5−4)k=−2i−j+k

আমরা জানি,

v=BCt

বা, v=−2i−j+k2

∴ v=−i−0.5j+0.5k m s⁻¹

বেগের মান,

v=(−1)²+(−0.5)²+(0.5)²=1.5

∴ v=1.22 m s⁻¹

অতএব, BC পথে বস্তুটির বেগ v=−i−0.5j+0.5k m s⁻¹, যার মান 1.22 m s⁻¹।

তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করলে তাদের স্কেলার ত্রিগুণফল (মিশ্র গুণফল) শূন্য হয়। বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর,

A=2i+j−k, B=3i−2j+4k, C=i−3j+5k

এখন,

A⋅(B×C)=21−13−241−35

=2{(−2)(5)−(4)(−3)}−1{(3)(5)−(4)(1)}+(−1){(3)(−3)−(−2)(1)}

=2(−10+12)−1(15−4)−1(−9+2)

=4−11+7=0

স্কেলার ত্রিগুণফল A⋅(B×C)=0, অর্থাৎ ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন শূন্য।

অতএব, উদ্দীপকের বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে।