বরিশাল বোর্ড ২০১৬ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

খুব অল্প সময়ের জন্য খুব বড় মানের যে বল কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়া করে, তাকে ঘাতবল বলে। ঘাতবলের পরিমাপ করা হয় বল ও ক্রিয়াকালের গুণফল, অর্থাৎ বলের ঘাত Ft দ্বারা, যা ভরবেগের পরিবর্তনের সমান।

কোনো ইঞ্জিনের দক্ষতা হলো ইঞ্জিন থেকে প্রাপ্ত কার্যকর শক্তি (লভ্য কাজ) এবং ইঞ্জিনে প্রদত্ত মোট শক্তির অনুপাত, অর্থাৎ

η=লভ্য কার্যকর শক্তিমোট প্রদত্ত শক্তি×100%

একটি ইঞ্জিনের দক্ষতা 60% বলতে বোঝায়, ইঞ্জিনটিতে 100 J শক্তি প্রদান করলে তা থেকে 60 J কার্যকর কাজ পাওয়া যায়। বাকি 40 J শক্তি ঘর্ষণ, তাপ, শব্দ ইত্যাদি রূপে অপচয় হয়।

চিত্র-১ এ A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ θ₁। ডট গুণফলের সাহায্যে কোণটি নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

A⋅B=ABcos θ₁

এখন, A⋅B=(1)(2)+(−1)(−3)+(1)(6)=2+3+6=11

A=1²+(−1)²+1²=3

B=2²+(−3)²+6²=49=7

বা, cos θ₁=1173=0.9073

বা, θ₁=cos⁻¹(0.9073)

∴ θ₁=24.87^∘

অতএব, θ₁ এর মান 24.87^∘।

চিত্র-২ এ θ₂ হলো (A+B) ও (A−B) এর মধ্যবর্তী কোণ। θ₂ নির্ণয় করে 'গ' এর θ₁ এর সাথে তুলনা করি।

A+B=(1+2)i+(−1−3)j+(1+6)k=3i−4j+7k

A−B=(1−2)i+(−1+3)j+(1−6)k=−i+2j−5k

(A+B)⋅(A−B)=(3)(−1)+(−4)(2)+(7)(−5)=−3−8−35=−46

|A+B|=3²+(−4)²+7²=74=8.60

|A−B|=(−1)²+2²+(−5)²=30=5.48

বা, cos θ₂=−4674×30=−4647.12=−0.9763

∴ θ₂=167.5^∘

লক্ষণীয়, (A+B)⋅(A−B)=A²−B²=3−49=−46। θ₁=θ₂ হতে হলে cos θ₁=cos θ₂ হতে হবে, কিন্তু এখানে cos θ₁=0.9073 (ধনাত্মক) এবং cos θ₂=−0.9763 (ঋণাত্মক)।

অতএব, θ₁=24.87^∘ এবং θ₂=167.5^∘ হওয়ায় θ₁≠θ₂; উদ্দীপকের ভেক্টরদ্বয়ের জন্য θ₁=θ₂ হওয়া সম্ভব নয়।