বরিশাল বোর্ড ২০২৫ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা বরাবর ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।

ধরি, দুটি ভেক্টর A ও B। এদের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হলে,

A+B=A−B ⇒ 2B=0 ⇒ B=0

অর্থাৎ ভেক্টর হিসেবে যোগফল ও বিয়োগফল কেবল তখনই সমান হতে পারে যখন একটি ভেক্টর নাল ভেক্টর হয়। দুটি অশূন্য ভেক্টরের ক্ষেত্রে যোগফল ও বিয়োগফল কখনো সমান হয় না, কারণ এদের দিক ভিন্ন হয়।

তবে এদের মান সমান হতে পারে। |A+B|=|A−B| হলে, A²+B²+2ABcos θ=A²+B²−2ABcos θ, অর্থাৎ cos θ=0 বা θ=90^∘। সুতরাং দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হয়।

A ও B এর ভেক্টর গুণফল A×B উভয় ভেক্টরের তলের উপর লম্ব।

A×B=ijk34−11−16

=i(4×6−(−1)(−1))−j(3×6−(−1)(1))+k(3×(−1)−4×1)

=i(24−1)−j(18+1)+k(−3−4)

∴ A×B=23i−19j−7k

|A×B|=23²+(−19)²+(−7)²=939=30.64

লম্ব একক ভেক্টর,

η=A×B|A×B|=23i−19j−7k939

অতএব, A ও B এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর 23i−19j−7k এবং ঐ দিকে একক ভেক্টর 23i−19j−7k939।

কোনো বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে বিন্দুটি উৎস, ঋণাত্মক হলে সিঙ্ক (নির্গম) এবং শূন্য হলে ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল।

আমরা জানি,

∇⋅C=∂C_x∂x+∂C_y∂y+∂C_z∂z

=∂∂x(2x²yz)+∂∂y(y²z)+∂∂z(x²y²z²)

=4xyz+2yz+2x²y²z

(2, −1, 2) বিন্দুতে,

∇⋅C=4(2)(−1)(2)+2(−1)(2)+2(2)²(−1)²(2)

=−16−4+16

∴ ∇⋅C=−4

(2, −1, 2) বিন্দুতে ∇⋅C=−4<0, অর্থাৎ ঐ বিন্দুর চারপাশের একক আয়তন থেকে নিট ফ্লাক্স ভেতরের দিকে; বিন্দুটিতে তরল প্রবেশ করে বিলীন হচ্ছে।

অতএব, (2, −1, 2) বিন্দুতে C ভেক্টর ক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে না, বরং সিঙ্ক (নির্গম) হিসেবে কাজ করবে।