বরিশাল বোর্ড ২০২৫ — পর্যাবৃত্ত গতি সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

সরল ছন্দিত স্পন্দনে গতি শুরুর মুহূর্তে (t=0) কণার দশাকে আদি দশা বলে। x=Asin (ωt+δ) সমীকরণে δ হলো আদি দশা।

সরল দোলকের পুনরুদ্ধারকারী বল F=−mgsin θ। সরল ছন্দিত গতির জন্য বলকে সরণের সমানুপাতিক হতে হয়, যা কেবল sin θ≈θ হলেই সম্ভব; তখন F=−mgLx।

কোণ θ ছোট হলে (4^∘ এর মধ্যে) sin θ ও θ (রেডিয়ানে) এর পার্থক্য নগণ্য থাকে; যেমন 4^∘=0.06981 rad এবং sin 4^∘=0.06976। এছাড়া ছোট বিস্তারে দোলকপিণ্ডের পথকে প্রায় সরলরেখা ধরা যায়।

বিস্তার বড় হলে এই আসন্নতা খাটে না, গতি সরল ছন্দিত থাকে না এবং T=2πL/g সূত্র দিয়ে সঠিক দোলনকাল পাওয়া যায় না। তাই সরল দোলকের কৌণিক বিস্তার 4^∘ এর মধ্যে রাখা হয়।

আমরা জানি,

ω=km

বা, ω=1.80.2=9=3 rad s⁻¹

আবার, f=ω2π

বা, f=32×3.1416

∴ f=0.477 Hz

সরণের সমীকরণ থেকেও ω=3 rad s⁻¹ পাওয়া যায়, যা উপরের মানের সাথে মিলে যায়। অতএব, স্পন্দনশীল বস্তুটির কম্পাঙ্ক 0.477 Hz।

বোর্ড গাইড অনুসারে উদ্দীপকের সরণ ভেক্টর r থেকে সরাসরি বেগ নির্ণয় করে গতিশক্তি এবং E_p=12kr² থেকে বিভবশক্তি তুলনা করা হয়েছে।

সরণ, r=icos 3t+jsin 3t

∴ r=|r|=cos²3t+sin²3t=1 m

বেগ, v=drdt=−3sin 3t i+3cos 3t j

∴ v=9sin²3t+9cos²3t=3 m s⁻¹

গতিশক্তি,

E_k=12mv²=12×0.2×3²=0.9 J

বিভবশক্তি,

E_p=12kr²=12×1.8×1²=0.9 J

∴ E_k=E_p=0.9 J

উদ্দীপকের সরণে |r| ও |v| উভয়ই সময়ের উপর নির্ভর করে না। তাই যেকোনো মুহূর্তে বস্তুটির গতিশক্তি ও বিভবশক্তি উভয়ই 0.9 J এবং মোট শক্তি 1.8 J।

একমাত্রিক উপাংশ বিবেচনা করলেও, যেমন x=cos 3t এর জন্য E_k=0.9sin²3t এবং E_p=0.9cos²3t; এ দুটি সমান হয় যখন x=±A2=±0.707 m, অর্থাৎ t=π12 s=0.262 s এ।

অতএব, উদ্দীপকে উল্লিখিত সরণে বস্তুটির গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সমান হবে; উভয়ের মান 0.9 J।