রাজশাহী বোর্ড ২০২১ — পর্যাবৃত্ত গতি সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো কণার ত্বরণ যদি সর্বদা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (সাম্যাবস্থান) থেকে সরণের সমানুপাতিক এবং সর্বদা ঐ বিন্দুর দিকে নির্দেশিত হয়, তবে কণাটির গতিকে সরল ছন্দিত স্পন্দন গতি বলে। অর্থাৎ, a=−ω²x।

কোনো গতিশীল বস্তু বা কোনো ঘটনা যদি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে বারবার একইভাবে পুনরাবৃত্ত হয়, তবে সেই বৈশিষ্ট্যকে কালিক পর্যাবৃত্তি বলে।

যেমন, সরল দোলকের বব নির্দিষ্ট সময় (দোলনকাল) পরপর একই অবস্থানে একই দিকে গতিশীল অবস্থায় ফিরে আসে। ঘড়ির কাঁটা, সূর্যের চারদিকে পৃথিবীর আবর্তন, দিন-রাত্রির আবর্তন ইত্যাদিও কালিক পর্যাবৃত্তির উদাহরণ।

গাণিতিকভাবে কোনো রাশি f(t) যদি f(t+T)=f(t) শর্ত মেনে চলে, তবে রাশিটি সময়ের সাপেক্ষে পর্যাবৃত্ত এবং T হলো এর পর্যায়কাল।

এই কালিক পর্যাবৃত্তিকে কাজে লাগিয়েই সময় পরিমাপের যন্ত্র (ঘড়ি) তৈরি করা হয়।

পাহাড়ের উপর g কমে যায়, ফলে দোলনকাল বাড়ে এবং ঘড়ি সময় হারায়। একদিনে (86400 s) ঘড়িটি 86400−25=86375 s সময় দেখায়।

আমরা জানি,

T_hT=gg_h=R+hR=1+hR

আবার, T_hT=nn′=8640086375

বা, 1+hR=8640086375

বা, h=R×2586375=6.4×10⁶×2586375

∴ h=1852.39 m

উদ্দীপকে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ দেওয়া নেই; প্রচলিত মান R=6.4×10⁶ m ধরা হয়েছে।

অতএব, পাহাড়টির উচ্চতা প্রায় 1852.39 m।

সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল T=2 s। পাহাড়ে g কম হওয়ায় দোলনকাল বেড়ে যায়। T=2πL/g অনুসারে g কমলে দৈর্ঘ্য L সেই অনুপাতে কমালে দোলনকাল আবার 2 s হবে।

ভূ-পৃষ্ঠে দোলকের দৈর্ঘ্য,

L=gT²4π²=9.8×2²4π²=0.99295 m

পাহাড়ে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

g_h=g8637586400²=9.8×8637586400²=9.7943 m s⁻²

পাহাড়ে প্রয়োজনীয় দৈর্ঘ্য,

L_h=g_hT²4π²=9.7943×2²4π²=0.99237 m

দৈর্ঘ্য হ্রাস,

ΔL=L−L_h=0.99295−0.99237=5.75×10⁻⁴ m

অর্থাৎ পাহাড়ে দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য 0.575 mm (প্রায় 0.058%) কমালে L_hg_h=Lg হয় এবং দোলনকাল আবার 2 s হয়।

অতএব, পাহাড়টিতে ভূ-পৃষ্ঠের ন্যায় দোলনকাল পেতে হলে দোলকের দৈর্ঘ্য 0.99295 m থেকে কমিয়ে 0.99237 m করতে হবে, অর্থাৎ প্রায় 0.575 mm ছোট করতে হবে।