পর্যাবৃত্ত গতি — বোর্ডের সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

সরল ছন্দিত গতিতে স্পন্দিত একটি বস্তুকণার সরণের সমীকরণ x=Asin ωt−π4। কণাটির ত্বরণকে a=Psin (ωt+δ) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

একজন পর্বতারোহী একটি সেকেন্ড দোলক নিয়ে একটি পর্বতের চূড়ায় আরোহণ করেন। তিনি দেখলেন ঘড়িটি পর্বতের চূড়ায় দৈনিক 15 s ধীরে চলে। তাই তিনি পর্বতের চূড়ায় ঘড়িটি যাতে সঠিক সময় প্রদান করে তার জন্য একটি ব্যবস্থা গ্রহণ করেন। [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.4×10⁶ m]

শামীম একদিন একটি সেকেন্ড দোলককে P এবং Q নামক দুটি পাহাড়ের পাদদেশে নিয়ে গেল। সে প্রতি পাদদেশেই সঠিক সময় পেল। কিন্তু সে P পাহাড়ের চূড়ায় দোলকটির দোলনকাল পেল 2.0172 s এবং Q পাহাড়ের চূড়ায় দোলকটি প্রতি ঘণ্টায় 45 s সময় হারায়। [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.4×10⁶ m এবং দুটি পাদদেশেই g এর মান 9.8 ms⁻²]

পৃথিবীপৃষ্ঠে একটি সরল দোলকের গতির সমীকরণ x=8sin πt+π4। দোলকটি বিনা বাধায় দুলছে।

একটি সেকেন্ড দোলক ঠাকুরগাঁও-এ সঠিক সময় দেয় কিন্তু দার্জিলিং-এ নিয়ে গেলে দিনে 30 s স্লো যায়। [দেওয়া আছে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R=6400 km]

একটি স্প্রিং এর এক প্রান্ত কোনো দৃঢ় অবলম্বনের সাথে আটকিয়ে ঝুলানো হলো। এর খোলা প্রান্তের সাথে 400 g ভরের একটি বস্তু ঝুলানোর ফলে এটি 12 cm প্রসারিত হয়। একে সাম্যাবস্থান থেকে টেনে 8 cm প্রসারিত করে ছেড়ে দেওয়ায় এটি সরল ছন্দিত স্পন্দন গতিতে দুলতে থাকল।

একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। দোলকটিকে এমন একটি উপগ্রহে নিয়ে যাওয়া হয় যার ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের 14 গুণ এবং ভর পৃথিবীর ভরের 150 গুণ। পৃথিবীর ভর 6×10²⁴ kg, ব্যাসার্ধ 6.4×10⁶ m এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.81 ms⁻²।

একটি গতিশীল 0.2 kg ভরের বস্তুকণার কোনো এক সময়ে সরণ r=(icos 3t+jsin 3t) m। বস্তুটি সরল ছন্দিত স্পন্দনে দুলছে যার বল ধ্রুবক =1.8 Nm⁻¹।

ফাহিম বান্দরবানে বেড়াতে গিয়ে একটি দোলককে পাহাড়ের পাদদেশে নিয়ে গেলে 2 sec এ একটি পূর্ণদোলন সম্পন্ন করে। এরপর সে দোলকটিকে উক্ত পাহাড়ের চূড়ায় নিয়ে গেলে সেটি ঘণ্টায় 30 sec সময় হারায়। পৃথিবীর ব্যাস 12800 km।

দুটি সরল ছন্দিত গতিতে স্পন্দিত বস্তুর একটির গতির সমীকরণ x=8cos 6πt+π2 মিটার এবং অপরটির গতির সমীকরণ x=10sin (12πt) (উভয় বস্তুর ভর সমান)।

একটি গ্যাসপূর্ণ বেলুনকে হ্রদের তলদেশে 50 m গভীরতায় নিয়ে যাওয়ায় 2 লিটার আয়তন ধারণ করে। হ্রদের তলদেশে বেলুনে আরো 1 লিটার গ্যাস প্রবেশ করিয়ে ছেড়ে দেওয়া হলো। বেলুনের সর্বোচ্চ ধারণ ক্ষমতা 8 লিটার। [বায়ুমণ্ডলের চাপ 10⁵ Nm⁻², পানির ঘনত্ব 10³ kgm⁻³, g=9.8 ms⁻²]

একটি সরল দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য 1 m এবং বিস্তার 6 cm। দোলকটিকে প্রথমে P স্থানে নিয়ে যাওয়া হলে দোলনকাল 1.5 sec এবং এরপর Q স্থানে নিয়ে গেলে দোলনকাল 2 sec পাওয়া গেল।

একটি সেকেন্ড দোলক কোনো একটি পাহাড়ের পাদদেশে সঠিক সময় দেয়। কিন্তু দোলকটিকে পাহাড়ের চূড়ায় নিয়ে গেলে প্রতি ঘণ্টায় 30 সেকেন্ড সময় ধীরে চলে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms⁻²।

পদার্থবিজ্ঞান ল্যাবে ব্যবহৃত একটি সেকেন্ড দোলকের গ্রীষ্মকালে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়ায় দোলনকাল 2.1 s হয়। সঠিক সময় পাওয়ার জন্য একজন ছাত্র এর দৈর্ঘ্য 2% কমিয়ে দেয়। (g=9.81 ms⁻²)

একটি পেন্ডুলাম ঘড়ি ভূ-পৃষ্ঠে প্রতি সেকেন্ডে 1টি অর্ধদোলন দেয়। কিন্তু পাহাড়ের উপর নিয়ে গেলে দৈনিক 100 s সময় হারায়। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km এবং পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms⁻²।

চিত্রে সরল দোলকটির জন্য সাম্যাবস্থা থেকে নির্দিষ্ট সরণে, গতিশক্তি = বিভবশক্তি।

একটি সেকেন্ড দোলকের সিলিন্ডার আকৃতির বব পানিপূর্ণ অবস্থায় আছে। ববের দৈর্ঘ্য 8 cm।

পৃথিবী পৃষ্ঠে একটি সরল দোলকের গতির সমীকরণ x=10sin πt+π4। সরল দোলকটি বিনা বাধায় দুলছে।

দুটি স্প্রিং এর স্প্রিং ধ্রুবক k₁=1000 Nm⁻¹ এবং k₂=2000 Nm⁻¹। m=4.5 kg ও m′ ভরের দুটি বস্তু চিত্র অনুসারে যুক্ত থেকে মসৃণ মেঝেতে দুলতে সক্ষম।

দুইটি সেকেন্ড দোলকের ববের ভর যথাক্রমে 80 gm ও 110 gm। রায়হান ও পাভেল পৃথকভাবে দোলক দুটিকে 12 cm বিস্তারে দুলতে দিল। রায়হান মন্তব্য করলো তার দোলকটি বেশি শক্তি অর্জন করবে।

নিচের উদ্দীপকে একটি সরল দোলগতি সম্পন্ন কণার শক্তি বনাম সরণের লেখচিত্র দেওয়া হলো:

একটি আদর্শ স্প্রিং এর শক্তির পরিবর্তন লেখচিত্রে দেখানো হলো:

একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। শামীম দোলকটি উপগ্রহে নিয়ে গেল, যার ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের 14 গুণ এবং ভর পৃথিবীর ভরের 150 গুণ। পৃথিবীর ভর 5.99×10²⁴ kg।

ভূ-পৃষ্ঠে একটি সেকেন্ড দোলক সঠিক সময় দেয়। এটিকে একটি খনিগর্ভে নিয়ে গেলে দৈনিক 20 sec ধীরে চলে। কিন্তু একটি পাহাড়ের শীর্ষে নিয়ে গেলে দৈনিক 1 মিনিট (এক মিনিট) ধীরে চলে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km।

নাফিস পদার্থবিজ্ঞান পরীক্ষাগারে 550 gm ভরের একটি বস্তুকে একটি ঝুলন্ত সুতার একপ্রান্তে বেঁধে দোল দিয়ে দেখলো যে, এটি 5 সেকেন্ডে 3 বার স্পন্দিত হচ্ছে। দোলনের কোনো এক সময় বস্তুটির সরণ 6 cm এবং দোলনের বিস্তার 11 cm।

একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। দোলকটিকে একবার ভূ-পৃষ্ঠ হতে 100 km গভীরে একটি বিন্দু A-তে নেওয়া হলো, আবার ভূ-পৃষ্ঠ হতে 100 km উপরে একটি বিন্দু B-তে নেওয়া হলো। দোলনকাল পর্যবেক্ষণ করে দেখা গেলো উভয় স্থানেই দোলক ঘড়িটি ধীরে চলে। [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R=6.4×10⁶ m; ভূ-পৃষ্ঠে g=9.8 ms⁻²]

একটি সেকেন্ড দোলককে পাহাড়ের পাদদেশ থেকে চূড়ায় নিয়ে যাওয়া হলে দিনে 50 sec সময় হারায়। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km, অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms⁻²।

পৃথিবী পৃষ্ঠে একটি সরল দোলকের সুতার দৈর্ঘ্য 99 cm এবং ববের ব্যাস 0.6 cm। দোলকটিকে মঙ্গল গ্রহে নিয়ে যাওয়া হলো। মঙ্গল গ্রহের ভর পৃথিবীর ভরের 0.11 গুণ এবং ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের 0.532 গুণ।

পৃথিবীর পৃষ্ঠে একটি সরলদোলকের সুতার দৈর্ঘ্য 80 cm এবং ববের ব্যাস 4 cm। সরলদোলকটি 100 m বিস্তার নিয়ে স্পন্দিত হচ্ছে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.4×10⁶ m এবং g=9.8 ms⁻²।

একটি স্প্রিংকে (ভর উপেক্ষণীয়) উলম্বভাবে ঝুলিয়ে এর নিচ প্রান্তে 300 gm ভরের একটি বস্তুকে মুক্তভাবে ঝুলিয়ে দিলে এটি 4 cm প্রসারিত হয় এবং বস্তুটিকে একটু টেনে ছেড়ে দিলে 8 cm বিস্তারে এটি স্পন্দিত হয়। [g=9.8 ms⁻²]

একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। দোলকটিকে রাঙামাটির এক পাহাড়ের উপর নিয়ে গেলে প্রতিদিন 25 সেকেন্ড সময় হারায়। (ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms⁻²)

একটি দোলক ঘড়ি পর্বতের পাদদেশে সঠিক সময় দেয় কিন্তু দোলকটি পর্বতের চূড়ায় উঠালে দুই ঘণ্টায় 8 সেকেন্ড সময় হারায়। পৃথিবীর ব্যাস 12800 km।

একটি স্প্রিং-এর এক প্রান্ত দৃঢ়ভাবে আটকিয়ে মুক্ত প্রান্তে 300 g ভরের একটি বস্তু যুক্ত করলে স্প্রিংটি 9 cm প্রসারিত হয়ে সাম্যাবস্থায় আসে। সাম্যাবস্থা হতে 6 cm টেনে ছেড়ে দিলে এটি দুলতে থাকে। [g=9.8 ms⁻²]

অত্যধিক ঠান্ডার কারণে 'P' স্থানে একটি সেকেন্ড দোলকের দোলনকাল এমনভাবে পরিবর্তিত হলো যে, ইহা দিনে 15 সেকেন্ড দ্রুত চলে। পরে এই দোলকটিকে একই তাপমাত্রায় অপর একটি স্থান 'N' তে নেয়া হলো। P স্থানের চেয়ে N স্থানে অভিকর্ষীয় ত্বরণ 5% কম। [g=9.8 ms⁻²]

সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দনশীল 0.5 kg ভরের কণা সাম্যাবস্থা হতে 0.015 m টেনে ছেড়ে দিলে এটি 0.12 m বিস্তারে দুলে। এটির ব্যবকলনীয় সমীকরণ নিম্নরূপ:

d²xdt²+4π²x=0

নগণ্য ভরের 30 cm দীর্ঘ কোনো স্প্রিং এর এক প্রান্ত কোনো দৃঢ় অবলম্বনের সাথে আটকিয়ে অপর প্রান্তে 2 kg ভর ঝুলালে স্প্রিংটির দৈর্ঘ্য 35 cm হয়। ভর সংযুক্ত থাকা অবস্থায় স্প্রিংটিকে টেনে দৈর্ঘ্য 39 cm করে ছেড়ে দেয়া হলো। একজন শিক্ষার্থী 2.24 sec ও 4.48 sec পর বেগ পরিমাপ করল।

কোনো স্থানে 6 Nm⁻¹ এবং 3 Nm⁻¹ স্প্রিং ধ্রুবক বিশিষ্ট দুটি স্প্রিং শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত আছে। এ অবস্থায় এদের উপর 0.6 N বল প্রয়োগ করা হলো। উক্ত স্থানে অভিকর্ষীয় ত্বরণের মান, g=9.8 ms⁻²।

একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। একে চাঁদে নিয়ে গিয়ে দোলানো হলো। [পৃথিবীর ভর চাঁদের ভরের 81 গুণ এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ চাঁদের ব্যাসার্ধের 4 গুণ]

সকিল একদিন একটি সেকেন্ড দোলককে A ও B নামক দুটি পাহাড়ের পাদদেশে নিয়ে গেলে সঠিক সময় পায়। কিন্তু সে লক্ষ করল A পাহাড়ের চূড়ায় গেলে দোলকটি 30 s সময় হারায় এবং B পাহাড়ের চূড়ায় দোলকটির দোলনকাল পাওয়া যায় 2.0198 s। [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R=6.4×10⁶ m; পাহাড়দ্বয়ের পাদদেশে অর্থাৎ ভূপৃষ্ঠে g=9.8 ms⁻²]

চিত্রে C বিন্দু একটি সরল দোলকের সর্বাধিক সরণ নির্দেশ করছে। ববের ভর 20 gm।

নিচের চিত্রে অতি নগণ্য ভরের একটি স্প্রিংকে অনুভূমিক মসৃণ টেবিলের উপর রেখে এক প্রান্ত দৃঢ় অবলম্বনে আটকিয়ে অপর প্রান্তে 3.5 kg ভর যুক্ত করা হয়েছে। বস্তুটিকে সাম্যাবস্থান হতে 3 m সরণ ঘটালে স্প্রিংটিতে 24 N প্রত্যয়নী বল ক্রিয়া করে।

রতন কলেজের গ্রীষ্মের ছুটি কাটাতে দাদার বাড়িতে বেড়াতে গিয়ে ধাতব পেন্ডুলামযুক্ত একটি দেয়াল ঘড়ি দেখতে পেল যার পেন্ডুলামটি 1 s সময়ে বাম দিক হতে ডান দিকে যায়। ঘড়িটিকে পাহাড়ের চূড়ায় নিয়ে গেলে 120 s সময় হারাল। [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R=6450 km, g=9.8 m/s²]

ভূপৃষ্ঠে একটি সরল দোলকের দোলনকাল 2 sec এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms⁻²। 8.85 km উঁচু A পাহাড়ের নিকটবর্তী অপর একটি পাহাড় B-তে নিয়ে সরল দোলককে দোলালে তা এক ঘণ্টায় 1780টি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করে।

1 cm ব্যাস ও 100 g ভরবিশিষ্ট একটি বব দৃঢ় অবলম্বন হতে 99.5 cm সুতা দিয়ে ভূমি হতে 1 m উচ্চতায় ঝুলানো হলো। ববটিকে টেনে A অবস্থান হতে ছেড়ে দেয়া হলো। ববের সাম্যাবস্থান হতে 2 m অনুভূমিক দূরত্বে ভূমিতে C অবস্থানে একটি ঝুড়ি রাখা আছে।

ঘর্ষণবিহীন অনুভূমিক তলে স্প্রিংটিকে 4 cm প্রসারিত করে ছেড়ে দেয়া হলো।

কোনো স্থানে একটি সরল দোলকের দোলনকাল 1.8 sec। উক্ত স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms⁻² এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km। এরপর দোলকটিকে 712 km উচ্চতাবিশিষ্ট একটি পাহাড়ের চূড়ায় নেয়া হলো।

একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। একে পাহাড়ের উপর নিয়ে গেলে তা প্রতিদিন 10 sec সময় হারায়। [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R=6400 km এবং ভূপৃষ্ঠের অভিকর্ষীয় ত্বরণ g=9.8 ms⁻²]

একটি সেকেন্ড দোলক ভূপৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। একে 9 km উচ্চতায় এভারেস্টের চূড়ায় নিয়ে গেলে প্রতি ঘণ্টায় 5 সেকেন্ড সময় হারায়। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km।

কোনো সুউচ্চ পাহাড়ে নিয়ে যাওয়ায় একটি সরলদোলক 10 ঘণ্টায় 11990টি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করল। কিন্তু ভূপৃষ্ঠে দোলকটি 3 s-এ একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করে। পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ 6400 km এবং সর্বোচ্চ শৃঙ্গ এভারেস্টের উচ্চতা 8.854 km। [ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms⁻²]

একদল শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞান ল্যাবরেটরিতে 500 g ভরের একটি বস্তুকে তারের প্রান্তে আংটায় ঝুলিয়ে দোল দিল। তারা দেখল যে, এটি প্রতি সেকেন্ডে 5 বার স্পন্দিত হচ্ছে। বস্তুটির সর্বাধিক সরণ 5 cm এবং বিস্তার 10 cm।

একটি সরলদোলকের ববের ভর 1.2×10⁻² kg। এটি 51 mm বিস্তারে দুলছে। এটি 25টি দোলন সম্পন্ন করতে 49.75 সে. সময় নেয়। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6.4×10⁶ m।

চিত্রে একটি সরল দোলক যার সুতার দৈর্ঘ্য 1.1 m এবং ববের ব্যাসার্ধ 1.5 cm, ভর 60 g এবং OA সাম্যাবস্থান। চিত্রে QC = 3 cm এবং PB = 2 cm। [g=9.8 ms⁻²]

সরল ছন্দিত গতিতে গতিশীল একটি কণার ভর 100 g। কণাটির সর্বাধিক বিস্তার 10 cm। সাম্যাবস্থান হতে সর্বাধিক বিস্তারের অবস্থানে পৌঁছাতে সময় লাগে 0.5 সে.।

আদিবা পদার্থবিজ্ঞান ল্যাবে একটি সরলদোলক (চিত্রানুযায়ী) নিয়ে কাজ করছিল। সে একটি নির্দিষ্ট সরণে সাম্যাবস্থা থেকে সরলদোলকটির বিভব শক্তি ও গতিশক্তি সমান পেল।

চিত্রে সরল ছন্দিত গতিতে স্পন্দনরত 1 kg ভরের বস্তুর শক্তি বনাম সরণ লেখচিত্র দেখানো হয়েছে। বস্তুর বিস্তার 0.01 m এবং কম্পাঙ্ক 12 Hz।

A-স্থানে একটি সেকেন্ড দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য 1 m এবং B-স্থানে 0.9 m। দোলকে ব্যবহৃত ববের ব্যাসার্ধ 0.75 cm।

একটি সেকেন্ড দোলককে 'ক' অঞ্চল হতে 'খ' অঞ্চলে নেওয়া হলো। g_ক=9.78 ms⁻²; g_খ=9.83 ms⁻²।

চিত্রে একটি সেকেন্ড দোলক দেখানো হলো, যা ভূপৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। OA = 2 m এবং BN = 0.5 m, B দোলকটির সর্বোচ্চ অবস্থান। ববের ভর 5 g। দোলকটিকে চাঁদে নিয়ে যাওয়া হলো। পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধ চাঁদের ভর ও ব্যাসার্ধের যথাক্রমে 81 গুণ ও 4 গুণ। পৃথিবীতে g=9.8 ms⁻²।

তানজিনা 100 cm কার্যকর দৈর্ঘ্যের একটি সরল দোলক তৈরি করলেন। 4° কৌণিক বিস্তারে দোলকটি 2 s দোলনকাল সহকারে দোল দেয়। তাকে দোলনকাল 50% বাড়াতে বলায় সে কার্যকর দৈর্ঘ্য 150 cm নিয়ে দোলনকাল নির্ণয় করতে শুরু করল।

পাশের চিত্রে 0.02 kg ভরের একটি বস্তুকে O বিন্দু থেকে 1 m লম্বা সুতার সাহায্যে ঝুলানো হলো। A বিন্দু সর্বোচ্চ বিস্তার নির্দেশ করে যা O বিন্দুতে 30° কোণ উৎপন্ন করে, এটিকে A বিন্দু পর্যন্ত টেনে ছেড়ে দেওয়া হলে এটি দুলতে শুরু করে। [g=9.8 ms⁻²]

মতিন একদিন একটি সেকেন্ড দোলককে পাহাড়ের পাদদেশে নিয়ে গেলে সঠিক সময় পায় কিন্তু পাহাড়ের চূড়ায় নিয়ে গিয়ে সে লক্ষ করল যে দোলকটি ঘণ্টায় 30 সেকেন্ড সময় হারায়। [পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R=6400 km, অভিকর্ষজ ত্বরণ g=9.8 m/s²]

50 g ভরবিশিষ্ট একটি সরল দোলকের দোলনকাল 2 s এবং ইহার বিস্তার 10 cm। দোলনরত অবস্থায় যখন ইহার বব মধ্যাবস্থানে আসে তখন ববটি ভূমি হতে 45 cm উপরে অবস্থান করে।