সিলেট বোর্ড ২০২৩ — পর্যাবৃত্ত গতি সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো স্প্রিং বা স্থিতিস্থাপক বস্তুর একক সরণ (প্রসারণ বা সংকোচন) ঘটাতে যে প্রত্যয়নী বল প্রয়োজন হয়, তাকে বল ধ্রুবক বলে। F=−kx সূত্রে k হলো বল ধ্রুবক; এর একক N m⁻¹।

কোনো বস্তুর স্থিতিস্থাপকতা পরিমাপ করা হয় এর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক (ইয়ং এর গুণাঙ্ক) Y=F/Al/L দ্বারা। একই পীড়নে যে বস্তুর বিকৃতি কম হয়, তার স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক বেশি এবং সেটি বেশি স্থিতিস্থাপক।

একই বল প্রয়োগে রাবার অনেক বেশি প্রসারিত হয়, কিন্তু ইস্পাতের প্রসারণ খুবই সামান্য। ফলে ইস্পাতের ইয়ং এর গুণাঙ্ক (≈2×10¹¹ N m⁻²) রাবারের (≈10⁶ থেকে 10⁷ N m⁻²) চেয়ে বহুগুণ বেশি।

তাছাড়া বল সরিয়ে নিলে ইস্পাত দ্রুত ও সম্পূর্ণভাবে পূর্বের অবস্থায় ফিরে আসে। তাই ইস্পাত রাবারের চেয়ে বেশি স্থিতিস্থাপক।

চিত্রে B হলো দোলকের প্রান্তীয় অবস্থান এবং A সাম্যাবস্থান। সাম্যাবস্থানে বেগ সর্বোচ্চ v_max। শক্তির সংরক্ষণশীলতা অনুসারে A বিন্দুর গতিশক্তি B বিন্দুর বিভবশক্তির সমান। B বিন্দু A এর চেয়ে h=L(1−cos θ) উচ্চতায় অবস্থিত।

আমরা জানি,

12mv2max=mgL(1−cos θ)

বা, 1−cos θ=v2max2gL=(0.155)²2×9.8×0.048

বা, 1−cos θ=0.02554

বা, cos θ=0.97446

∴ θ=12.98^∘

অতএব, θ এর মান 12.98^∘।

উদ্দীপকের মন্তব্য হলো, সাম্যাবস্থা থেকে একটি নির্দিষ্ট সরণে দোলকের গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সমান। সরল ছন্দিত স্পন্দকের x সরণে বিভবশক্তি E_p=12mω²x² এবং গতিশক্তি E_k=12mω²(A²−x²)।

E_k=E_p হলে,

12mω²(A²−x²)=12mω²x²

বা, A²=2x²

∴ x=A2

এখন, ω=gL=9.80.048=14.29 rad s⁻¹

বিস্তার,

A=v_maxω=0.15514.29=0.01085 m

∴ x=0.010852=0.00767 m=7.67 mm

এই সরণে বেগ,

v=ωA²−x²=v_max2=0.1551.414=0.1096 m s⁻¹

একক ভরের গতিশক্তি,

E_km=12v²=12(0.1096)²=0.006 J kg⁻¹

একক ভরের বিভবশক্তি,

E_pm=12ω²x²=12(14.29)²(0.00767)²=0.006 J kg⁻¹

অর্থাৎ, সাম্যাবস্থান থেকে x=A2=7.67 mm সরণে একক ভরের গতিশক্তি ও বিভবশক্তি উভয়ই 0.006 J kg⁻¹, যা মোট শক্তি 12v2max=0.012 J kg⁻¹ এর ঠিক অর্ধেক। এই অবস্থানে দোলকের কৌণিক সরণ প্রায় 9.17^∘।

অতএব, উদ্দীপকের মন্তব্যটি সত্য; বিস্তারের 12 গুণ সরণে দোলকটির গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সমান হয়।