সিলেট বোর্ড ২০২৩ — মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট সমতলকে যখন একটি ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যার মান ঐ তলের ক্ষেত্রফলের সমান এবং দিক তলের অভিলম্ব বরাবর, তখন তাকে তল ভেক্টর বলে। একে A=A η দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

কোনো গ্রহের পৃষ্ঠে মুক্তিবেগ,

v_e=2GMR

অর্থাৎ v_e∝MR। বৃহস্পতির ভর পৃথিবীর ভরের প্রায় 318 গুণ এবং ব্যাসার্ধ প্রায় 11 গুণ; অপরদিকে মঙ্গলের ভর পৃথিবীর ভরের প্রায় 0.11 গুণ এবং ব্যাসার্ধ প্রায় 0.53 গুণ।

ফলে বৃহস্পতির জন্য MR অনুপাত মঙ্গলের তুলনায় অনেক বেশি। তাই বৃহস্পতির পৃষ্ঠে মুক্তিবেগ (প্রায় 59.5 km s⁻¹) মঙ্গলের পৃষ্ঠে মুক্তিবেগের (প্রায় 5 km s⁻¹) চেয়ে অনেক বেশি।

আমরা জানি,

v=GMR+h

বা, v=6.673×10⁻¹¹×6×10²⁴6.4×10⁶+3.46×10⁶

বা, v=4.004×10¹⁴9.86×10⁶=4.061×10⁷

∴ v=6372.32 m s⁻¹

অতএব, কৃত্রিম উপগ্রহটির বেগ 6372.32 m s⁻¹ বা প্রায় 6.37 km s⁻¹।

কোনো উপগ্রহ ভূ-স্থির হতে হলে তার আবর্তনকাল পৃথিবীর আহ্নিক গতির পর্যায়কালের সমান, অর্থাৎ 24 ঘণ্টা হতে হবে। উদ্দীপকের উপগ্রহটির পর্যায়কাল নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

T=2π(R+h)v

বা, T=2×3.1416×9.86×10⁶6372.32

∴ T=9722.08 s=2.70 h

ভূ-স্থির উপগ্রহের জন্য (T₀=24 h) কক্ষপথের ব্যাসার্ধ,

r₀=GMT204π²¹³=4.004×10¹⁴×(86400)²4×(3.1416)²¹³

∴ r₀=4.23×10⁷ m

∴ প্রয়োজনীয় উচ্চতা,

h₀=r₀−R=4.23×10⁷−6.4×10⁶=3.59×10⁷ m

দেখা যায়, উপগ্রহটির পর্যায়কাল 2.70 ঘণ্টা, যা 24 ঘণ্টার চেয়ে অনেক কম। আবার এর উচ্চতা 3.46×10⁶ m, যেখানে ভূ-স্থির উপগ্রহের উচ্চতা প্রায় 3.59×10⁷ m হওয়া প্রয়োজন।

অতএব, উদ্দীপকের কৃত্রিম উপগ্রহটি ভূ-স্থির উপগ্রহ হবে না; এটি দিনে প্রায় 24/2.70≈8.9 বার পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করবে।