ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ — মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে সরল দোলকের দোলনকাল 2 s, অর্থাৎ যার একটি অর্ধদোলনে 1 s সময় লাগে, তাকে সেকেন্ড দোলক বলে।

ভূপৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, g_h=gRR+h²≈g1−2hR।

আবার ভূপৃষ্ঠ থেকে h গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, g_d=g1−hR।

অভ্যন্তরে গেলে বস্তুর উপরের খোলসের ভর আকর্ষণে অংশ নেয় না, শুধু ভিতরের অংশের ভর আকর্ষণ করে; ফলে g দূরত্বের সাথে রৈখিকভাবে কমে। কিন্তু উপরে উঠলে সম্পূর্ণ ভর আকর্ষণ করে এবং g দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতে কমে।

উপরের সমীকরণ দুটি থেকে দেখা যায়, সমান দূরত্বের জন্য উপরে g এর হ্রাস 2hRg এবং অভ্যন্তরে হ্রাস hRg। অর্থাৎ উপরে g প্রায় দ্বিগুণ হারে কমে। তাই পৃথিবীর অভ্যন্তরে ও উপরে সমান দূরত্বে g এর মান সমান নয়; অভ্যন্তরে g এর মান বেশি হয়।

পৃথিবীর আহ্নিক গতির জন্য λ অক্ষাংশে অভিকর্ষজ ত্বরণ g_λ=g−ω²Rcos²λ।

আমরা জানি,

ω=2πT=2×3.141686400=7.27×10⁻⁵ rad s⁻¹

এবং, g_λ=g−ω²Rcos²λ

বা, g_λ=9.8−(7.27×10⁻⁵)²×6.4×10⁶×cos²60^∘

বা, g_λ=9.8−0.0338×0.25

বা, g_λ=9.8−0.00846

∴ g_λ=9.79 m s⁻²

অতএব, পৃথিবীর 60^∘ অক্ষাংশে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান 9.79 m s⁻² (সূক্ষ্মভাবে 9.7915 m s⁻²)।

বিষুবীয় অঞ্চলে λ=0^∘, তাই cos²λ=1 এবং g_e=g−ω²R। বর্তমান কৌণিক বেগ ω=7.27×10⁻⁵ rad s⁻¹ ('গ' থেকে)।

নতুন কৌণিক বেগ,

ω′=10ω=7.27×10⁻⁴ rad s⁻¹

বিষুবীয় অঞ্চলে,

g′_e=g−ω′²R

বা, g′_e=9.8−(7.27×10⁻⁴)²×6.4×10⁶

বা, g′_e=9.8−3.38

∴ g′_e=6.42 m s⁻²

কিন্তু g এর অর্ধেক,

g2=9.82=4.9 m s⁻²

আবার, বিষুবীয় অঞ্চলে g অর্ধেক হতে হলে প্রয়োজনীয় কৌণিক বেগ ω″ হলে,

g−ω″²R=g2

বা, ω″=g2R=9.82×6.4×10⁶

∴ ω″=8.75×10⁻⁴ rad s⁻¹

∴ ω″ω=8.75×10⁻⁴7.27×10⁻⁵=12.03

দেখা যায়, ঘূর্ণন 10 গুণ হলে বিষুবীয় অঞ্চলে g এর মান হয় 6.42 m s⁻², যা 4.9 m s⁻² এর চেয়ে বেশি। g অর্ধেক হতে হলে ঘূর্ণন প্রায় 12.03 গুণ বাড়াতে হবে, অর্থাৎ আবর্তনকাল প্রায় 1.99 ঘণ্টা হতে হবে।

অতএব, পৃথিবীর ঘূর্ণন বর্তমানের চেয়ে 10 গুণ বেশি হলে বিষুবীয় অঞ্চলে g এর মান অর্ধেকে পরিণত হবে না।