সিলেট বোর্ড ২০১৭ — মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

একক ভরবিশিষ্ট দুটি বস্তুকণা একক দূরত্বে থাকলে এরা পরস্পরকে যে বলে আকর্ষণ করে, তাকে মহাকর্ষীয় ধ্রুবক বলে। এর মান G=6.673×10⁻¹¹ N m² kg⁻²।

পৃথিবী নিজ অক্ষের চারদিকে আবর্তন করায় ভূপৃষ্ঠের প্রতিটি বস্তু বৃত্তাকার পথে ঘোরে। এই বৃত্তাকার গতির জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল অভিকর্ষ বলের একটি অংশ থেকে আসে।

λ অক্ষাংশে বস্তুর আপাত ওজন, mg′=mg−mω²Rcos²λ

বিষুবীয় অঞ্চলে λ=0^∘, ফলে cos²λ=1 সর্বোচ্চ; তাই সেখানে আবর্তনজনিত হ্রাস mω²R সবচেয়ে বেশি। তাছাড়া পৃথিবী বিষুবীয় অঞ্চলে কিছুটা স্ফীত হওয়ায় সেখানে ব্যাসার্ধ R বেশি, ফলে g=GMR² এর মানও কম।

এই দুই কারণে বিষুবীয় অঞ্চলে বস্তুর আপাত ওজন হ্রাস পায়।

উদ্দীপকে গ্রহের ব্যাসার্ধ দেওয়া নেই; গাইড বইয়ের প্রচলিত ধারায় গ্রহটিকে পৃথিবী ধরে R=6.4×10⁶ m নেওয়া হয়েছে।

কক্ষপথে উপগ্রহের প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী ত্বরণ ঐ স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণের সমান।

আমরা জানি,

v²R+h=g_h

বা, R+h=v²g_h=(7.8×10³)²9.0

বা, R+h=6.76×10⁶ m

বা, h=6.76×10⁶−6.4×10⁶

∴ h=3.6×10⁵ m=360 km

অতএব, বৃত্তাকার কক্ষপথটির উচ্চতা 3.6×10⁵ m বা 360 km।

কোনো গ্রহ থেকে নভোযানকে অন্য গ্রহে যেতে হলে প্রথম গ্রহের মহাকর্ষ ক্ষেত্র অতিক্রম করতে হবে, অর্থাৎ অন্তত ঐ গ্রহের মুক্তিবেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করতে হবে। তাই দুই গ্রহের মুক্তিবেগ তুলনা করি। ধরি, প্রথম গ্রহের ভর ও ব্যাসার্ধ M₁, R₁ এবং দ্বিতীয় গ্রহের M₂, R₂।

আমরা জানি,

v_e1=2GM₁R₁ ও v_e2=2GM₂R₂

∴ v_e1v_e2=M₁M₂×R₂R₁=801×14=20=4.47

প্রথম গ্রহে,

GM₁=g_h(R₁+h)²=9.0×(6.76×10⁶)²=4.113×10¹⁴ N m² kg⁻¹

∴ v_e1=2×4.113×10¹⁴6.4×10⁶=1.134×10⁴ m s⁻¹=11.34 km s⁻¹

∴ v_e2=11.344.47=2.54 km s⁻¹

গতিশক্তির অনুপাত,

E_k1E_k2=12mv2e112mv2e2=v_e1v_e2²=20

দেখা যায়, প্রথম গ্রহের (উদ্দীপকের গ্রহ) মুক্তিবেগ 11.34 km s⁻¹, যা দ্বিতীয় গ্রহের মুক্তিবেগ 2.54 km s⁻¹ এর প্রায় 4.47 গুণ। একই নভোযানের জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম গতিশক্তি মুক্তিবেগের বর্গের সমানুপাতিক।

অতএব, উদ্দীপকের প্রথম গ্রহটি (যার ভর 80 গুণ ও ব্যাসার্ধ 4 গুণ) থেকে যাত্রা শুরু করলে নভোযানটিকে অধিক গতিশক্তি নিয়ে যাত্রা করতে হবে; এই গতিশক্তি দ্বিতীয় গ্রহ থেকে যাত্রার প্রয়োজনীয় গতিশক্তির 20 গুণ।