দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ — মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

ভূপৃষ্ঠ থেকে প্রায় 36000 km উচ্চতায় বিষুবীয় তলে অবস্থিত যে বৃত্তাকার কক্ষপথে কোনো উপগ্রহ পৃথিবীর আহ্নিক গতির সমান পর্যায়কালে (24 ঘণ্টায়) আবর্তন করে, অর্থাৎ ভূ-স্থির উপগ্রহের কক্ষপথকে পার্কিং কক্ষপথ বলে।

কোনো বস্তুর স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কৃন্তন পীড়ন ও কৃন্তন বিকৃতির অনুপাতকে কাঠিন্যের গুণাঙ্ক বলে, η=কৃন্তন পীড়নকৃন্তন বিকৃতি।

ইস্পাতের কাঠিন্যের গুণাঙ্ক 7.8×10¹⁰ N m⁻² বলতে বোঝায়, স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে ইস্পাতের তৈরি কোনো বস্তুতে একক কৃন্তন বিকৃতি (অর্থাৎ 1 rad কৃন্তন কোণ) সৃষ্টি করতে হলে এর পৃষ্ঠের প্রতি বর্গমিটার ক্ষেত্রফলে স্পর্শকভাবে 7.8×10¹⁰ N বল প্রয়োগ করতে হবে।

উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ (কেন্দ্র থেকে দূরত্ব) r হলে, T=2πr³GM এবং GM=gR²।

আমরা জানি,

T=2πr³gR²

বা, r³=gR²T²4π²

বা, r³=9.8×(6.4×10⁶)²×(43200)²4×(3.1416)²

বা, r³=1.898×10²²

∴ r=2.667×10⁷ m=26672.55 km

অতএব, উপগ্রহটি পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে 2.667×10⁷ m বা প্রায় 26672.55 km দূরত্বে (ভূপৃষ্ঠ থেকে 26672.55−6400=20272.55 km উচ্চতায়) অবস্থান করছিল।

উদ্দীপকে উচ্চতা অপরিবর্তিত রেখে ভূ-স্থির করার কথা বলা হয়েছে; বোর্ড গাইডের রীতিতে একই কক্ষপথে 24 h পর্যায়কালের জন্য প্রয়োজনীয় বেগ নির্ণয় করে তার সম্ভাব্যতা যাচাই করা হলো।

ভূ-স্থির হতে হলে উপগ্রহের পর্যায়কাল T′=24 h=86400 s হতে হবে। 'গ' থেকে পাই, কক্ষপথের ব্যাসার্ধ r=2.667×10⁷ m।

বর্তমান বেগ,

v=2πrT=2×3.1416×2.667×10⁷43200=3879.37 m s⁻¹

একই উচ্চতায় পর্যায়কাল 24 h হতে প্রয়োজনীয় বেগ,

v′=2πrT′=2×3.1416×2.667×10⁷86400

∴ v′=1939.68 m s⁻¹≈1.94 km s⁻¹

অর্থাৎ, উচ্চতা অপরিবর্তিত রেখে পর্যায়কাল 24 h করতে হলে উপগ্রহের বেগ 3879.37 m s⁻¹ থেকে কমিয়ে 1939.68 m s⁻¹ (অর্ধেক) করতে হবে।

কিন্তু ঐ উচ্চতায় বৃত্তাকার কক্ষপথে টিকে থাকার জন্য প্রয়োজনীয় বেগ v=gR²r=9.8×(6.4×10⁶)²2.667×10⁷=3879.37 m s⁻¹, যা কক্ষীয় বেগের সমান। বেগ কমিয়ে 1939.68 m s⁻¹ করলে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল (mv′²r) মহাকর্ষ বলের চেয়ে কম হবে, ফলে উপগ্রহটি ঐ কক্ষপথে থাকতে না পেরে পৃথিবীর দিকে নেমে আসবে।

ভূ-স্থির উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r_g=gR²T′²4π²¹³=4.234×10⁷ m, যেখানে কক্ষীয় বেগ 2πr_gT′=3079.05 m s⁻¹।

অতএব, গাণিতিকভাবে উপগ্রহটির বেগ 1.94 km s⁻¹ করলে এর পর্যায়কাল 24 ঘণ্টা হয়; তবে ঐ উচ্চতায় এই বেগে স্থিতিশীল বৃত্তাকার কক্ষপথ সম্ভব নয়। প্রকৃতপক্ষে উচ্চতা পরিবর্তন না করে শুধু বেগ পরিবর্তন করে উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহে পরিণত করা যাবে না; এজন্য একে কেন্দ্র থেকে 4.234×10⁷ m দূরের কক্ষপথে নিয়ে 3.08 km s⁻¹ বেগ দিতে হবে।