কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ — পর্যাবৃত্ত গতি সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো স্থানের প্রতি একক আয়তন বায়ুতে উপস্থিত জলীয় বাষ্পের ভরকে ঐ স্থানের পরম আর্দ্রতা বলে। একে সাধারণত kg m⁻³ বা g m⁻³ এককে প্রকাশ করা হয়।

স্থিতিস্থাপক বল ও অভিকর্ষীয় বল উভয়ই সংরক্ষণশীল বল; উভয় ক্ষেত্রে কাজ শুধু আদি ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে এবং বদ্ধপথে মোট কাজ শূন্য।

তবে পার্থক্য হলো, ভূপৃষ্ঠের কাছে অভিকর্ষীয় বল mg ধ্রুব, তাই h উচ্চতা সরণে কৃত কাজ W=mgh, যা সরণের সমানুপাতিক।

অন্যদিকে স্থিতিস্থাপক বল F=−kx সরণের সাথে পরিবর্তনশীল, তাই স্প্রিংকে x পরিমাণ প্রসারিত করতে কাজ W=12kx², যা সরণের বর্গের সমানুপাতিক।

তাছাড়া স্থিতিস্থাপক বল সর্বদা সাম্যাবস্থানের দিকে ক্রিয়া করে এবং প্রসারণ ও সংকোচন উভয় ক্ষেত্রেই সঞ্চিত শক্তি ধনাত্মক হয়; কিন্তু অভিকর্ষীয় বল সর্বদা নিচের দিকে ক্রিয়া করে।

প্রদত্ত সমীকরণকে d²xdt²+ω²x=0 এর সাথে তুলনা করে পাই ω²=4π²। সমীকরণটির সমাধান x=Asin (ωt+δ), যেখানে t=0 তে কণার সরণ x₀=0.015 m।

আমরা জানি,

x=Asin (ωt+δ)

t=0 তে,

x₀=Asin δ

বা, sin δ=x₀A=0.0150.12=0.125

বা, δ=sin⁻¹(0.125)

∴ δ=7.18^∘=0.1253 rad

t=0 মুহূর্তে কণার সরণ 0.015 m ধরে x=Asin (ωt+δ) সমীকরণ থেকে দশা ধ্রুবক নির্ণয় করা হয়েছে।

অতএব, কণাটির দশা ধ্রুবক 7.18^∘ বা 0.1253 rad।

সরণের সমীকরণ x=0.12sin (2πt+0.1253) এবং বেগ v=dxdt=0.12×2πcos (2πt+0.1253)। কোনো মুহূর্তে মোট যান্ত্রিক শক্তি E=12mω²x²+12mv²।

t=1.125 s এ দশা,

θ₁=2π×1.125+0.1253=7.1939 rad

x₁=0.12sin (7.1939)=0.0948 m

v₁=0.754cos (7.1939)=0.4623 m s⁻¹

E_p1=12mω²x21=12×0.5×4π²×(0.0948)²=0.0887 J

E_k1=12mv21=12×0.5×(0.4623)²=0.0534 J

E₁=0.0887+0.0534=0.1421 J

t=1.625 s এ দশা,

θ₂=2π×1.625+0.1253=10.3355 rad

x₂=0.12sin (10.3355)=−0.0948 m

v₂=0.754cos (10.3355)=−0.4623 m s⁻¹

E_p2=12×0.5×4π²×(−0.0948)²=0.0887 J

E_k2=12×0.5×(−0.4623)²=0.0534 J

E₂=0.0887+0.0534=0.1421 J

আবার, মোট শক্তির তাত্ত্বিক মান E=12mω²A²=12×0.5×4π²×(0.12)²=0.1421 J

দুই মুহূর্তের ব্যবধান 0.5 s, যা পর্যায়কালের (T=1 s) অর্ধেক; তাই সরণ ও বেগ মানে সমান কিন্তু বিপরীতমুখী। উভয় মুহূর্তে বিভব শক্তি ও গতিশক্তির যোগফল 0.1421 J, যা 12mω²A² এর সমান।

অতএব, t=1.125 s ও t=1.625 s উভয় মুহূর্তে মোট যান্ত্রিক শক্তি 0.1421 J হওয়ায় যান্ত্রিক শক্তির নিত্যতা সূত্র যাচাই হলো।