সিলেট বোর্ড ২০১৯ — পর্যাবৃত্ত গতি সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

পৃথিবীর বিষুবীয় তলে প্রায় 36000 km উচ্চতায় যে বৃত্তাকার কক্ষপথে কোনো কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীর আহ্নিক গতির দিকে 24 ঘণ্টায় একবার আবর্তন করে এবং ফলে ভূপৃষ্ঠের সাপেক্ষে স্থির মনে হয়, তাকে পার্কিং কক্ষপথ বলে।

সূর্যের চারদিকে ঘূর্ণায়মান গ্রহের কেন্দ্রমুখী বল যোগায় সূর্যের মহাকর্ষ বল। তাই GMmr²=mv²r=m2πT²r।

এ থেকে পাই, T²=4π²GMr³, অর্থাৎ T²∝r³ (কেপলারের তৃতীয় সূত্র)। এখানে M সূর্যের ভর, যা সকল গ্রহের জন্য একই।

অর্থাৎ গ্রহের আবর্তনকাল এর ভরের উপর নির্ভর করে না, কেবল সূর্য থেকে এর গড় দূরত্ব r এর উপর নির্ভর করে। বিভিন্ন গ্রহ সূর্য থেকে বিভিন্ন দূরত্বে অবস্থিত, তাই এদের আবর্তনকাল ভিন্ন হয়; দূরের গ্রহের আবর্তনকাল বেশি।

সেকেন্ড দোলকের প্রকৃত দোলনকাল T=2 s। পাহাড়ের উপর ঘড়ি দৈনিক 10 s সময় হারায়, অর্থাৎ 86400 s সময়ে ঘড়ি দেখায় 86400−10=86390 s।

আমরা জানি,

T_hT=gg_h=R+hR

আবার, T_hT=8640086390

∴ R+hR=8640086390

বা, h=R×1086390

বা, h=6.4×10⁶×1086390

∴ h=740.83 m

অতএব, পাহাড়ের উচ্চতা প্রায় 740.83 m।

T=2πLg অনুসারে, পাহাড়ের উপর g এর মান কমে যাওয়ায় দোলনকাল বেড়ে যায় এবং দোলকটি সময় হারায়। দোলনকাল 2 s অপরিবর্তিত রাখতে হলে Lg ধ্রুব রাখতে হবে, অর্থাৎ যান্ত্রিকভাবে দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য কমাতে হবে। এখন দৈর্ঘ্য কতটুকু কমাতে হবে তা নির্ণয় করি।

ভূপৃষ্ঠে,

L=gT²4π²=9.8×2²4π²=0.99295 m

পাহাড়ে,

g_h=gTT_h²=9.8×8639086400²=9.79773 m s⁻²

পাহাড়ে সঠিক সময়ের জন্য প্রয়োজনীয় দৈর্ঘ্য,

L′=g_hT²4π²=9.79773×2²4π²=0.99272 m

∴ দৈর্ঘ্য হ্রাস,

ΔL=L−L′=0.99295−0.99272=2.3×10⁻⁴ m

∴ ΔL=0.23 mm

দোলকপিণ্ডের নিচের নিয়ন্ত্রক স্ক্রু ঘুরিয়ে পিণ্ডটিকে প্রায় 0.23 mm উপরে তুললে কার্যকর দৈর্ঘ্য 0.99272 m হবে এবং পাহাড়ে দোলনকাল T′=2πL′g_h=2 s হবে।

অতএব, দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য প্রায় 0.23 mm কমানোর (দৈর্ঘ্য 0.99295 m থেকে 0.99272 m করার) যান্ত্রিক ব্যবস্থা নিলে পাহাড়ে দোলকটির দোলনকাল অপরিবর্তিত থাকবে।